Solved on Jan 30, 2024

Find the derivatives of XX, 3xex3xe^x, and xexxe^x.

STEP 1

الافتراضات
1. نحتاج إلى إيجاد المشتقة الأولى والثانية للدالة XX.
2. الدالة XX غير محددة ويجب تحديدها قبل إيجاد المشتقات.
3. المشتقات المعطاة 3xex3xe^x و xexxe^x يمكن أن تكون المشتقة الأولى والثانية للدالة XX على التوالي، وسنفترض ذلك لحل المسألة.

STEP 2

لإيجاد الدالة XX، نبدأ بالمشتقة الثانية xexxe^x ونجد التكامل الأول لها للحصول على المشتقة الأولى.
xexdx\int xe^x \,dx

STEP 3

نستخدم تكامل بالتجزئة لإيجاد التكامل الأول للدالة xexxe^x. لتكامل بالتجزئة نحتاج إلى اختيار uu و dvdv بحيث:
u=x,dv=exdxu = x, \quad dv = e^x \,dx

STEP 4

نجد القيم dudu و vv من خلال التفاضل والتكامل:
du=dx,v=exdu = dx, \quad v = e^x

STEP 5

نطبق قاعدة التكامل بالتجزئة:
udv=uvvdu\int u \,dv = uv - \int v \,du

STEP 6

نستبدل uu, dvdv, dudu و vv في الصيغة:
xexdx=xexexdx\int xe^x \,dx = x e^x - \int e^x \,dx

STEP 7

نجد التكامل الثاني:
exdx=ex\int e^x \,dx = e^x

STEP 8

نضع القيمة في المعادلة:
xexdx=xexex+C\int xe^x \,dx = x e^x - e^x + C
حيث CC هو ثابت التكامل.

STEP 9

الآن لدينا المشتقة الأولى للدالة XX، وهي:
X=xexex+CX' = xe^x - e^x + C

STEP 10

نلاحظ أن المشتقة الأولى المعطاة هي 3xex3xe^x، وبالتالي يمكننا تحديد قيمة الثابت CC بمقارنتها مع XX':
3xex=xexex+C3xe^x = xe^x - e^x + C

STEP 11

نحل المعادلة لإيجاد CC:
C=3xexxex+exC = 3xe^x - xe^x + e^x

STEP 12

نبسط المعادلة:
C=2xex+exC = 2xe^x + e^x

STEP 13

الآن لدينا المشتقة الأولى الكاملة للدالة XX:
X=xexex+2xex+exX' = xe^x - e^x + 2xe^x + e^x

STEP 14

نبسط المشتقة الأولى:
X=3xexX' = 3xe^x

STEP 15

لإيجاد الدالة XX نحتاج إلى تكامل المشتقة الأولى XX':
3xexdx\int 3xe^x \,dx

STEP 16

نلاحظ أن التكامل الذي قمنا به في الخطوات السابقة يعطينا الدالة XX مباشرةً بإضافة ثابت التكامل، لأن 3xex3xe^x هي المشتقة الأولى للدالة XX. لذلك، الدالة XX هي:
X=xexex+2xex+ex+CX = xe^x - e^x + 2xe^x + e^x + C'
حيث CC' هو ثابت التكامل الجديد.

STEP 17

نبسط الدالة XX:
X=3xexex+CX = 3xe^x - e^x + C'

STEP 18

بما أننا لا نملك معلومات إضافية لتحديد قيمة CC'، فإن الحل النهائي للدالة XX هو:
X=3xexex+CX = 3xe^x - e^x + C'
حيث CC' هو ثابت يمكن تحديده إذا كانت هناك شروط أولية أو معلومات إضافية متاحة.

Was this helpful?
banner

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

ContactInfluencer programPolicyTerms
TwitterInstagramFacebookTikTokDiscord