Solved on Jan 11, 2024

Find the first derivative of 5x5 \sqrt{x}.

STEP 1

Annahmen
1. Wir sollen die erste Ableitung der Funktion f(x)=5x f(x) = 5 \sqrt{x} finden.
2. Die Variable x x ist eine reelle Zahl und x>0 x > 0 , da wir die Wurzel aus x x ziehen.

STEP 2

Um die erste Ableitung einer Funktion zu finden, wenden wir die Ableitungsregeln an. Für die Funktion f(x)=5x f(x) = 5 \sqrt{x} verwenden wir die Potenzregel.

STEP 3

Wir schreiben die Funktion f(x)=5x f(x) = 5 \sqrt{x} um, indem wir die Wurzel als Potenz ausdrücken.
f(x)=5x12 f(x) = 5 x^{\frac{1}{2}}

STEP 4

Jetzt wenden wir die Potenzregel an, um die Ableitung von f(x) f(x) zu finden. Die Potenzregel besagt, dass die Ableitung von xn x^n gleich nxn1 n \cdot x^{n-1} ist.

STEP 5

Wir leiten die Funktion ab, indem wir die Potenzregel auf den Term x12 x^{\frac{1}{2}} anwenden.
f(x)=512x121 f'(x) = 5 \cdot \frac{1}{2} \cdot x^{\frac{1}{2} - 1}

STEP 6

Wir vereinfachen den Ausdruck, indem wir die Konstanten multiplizieren und die Potenz von x x aktualisieren.
f(x)=52x12 f'(x) = \frac{5}{2} \cdot x^{-\frac{1}{2}}

STEP 7

Schließlich schreiben wir die Ableitung in einer üblichen Form, indem wir die negative Potenz als Wurzel im Nenner darstellen.
f(x)=52x f'(x) = \frac{5}{2 \sqrt{x}}
Die erste Ableitung der Funktion f(x)=5x f(x) = 5 \sqrt{x} ist f(x)=52x f'(x) = \frac{5}{2 \sqrt{x}} .

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