Solved on Jan 24, 2024

Find the derivative of $\sqrt{x} + \sqrt{y} = 5$ at the point $(x, y) = (9, 4)$ .

STEP 1

الافتراضات
1. المعادلة المعطاة هي $\sqrt{x} + \sqrt{y} = 5$ .
2. يتم تعريف $y$ كدالة في $x$ .
3. نحتاج إلى إيجاد $\frac{dy}{dx}$ عند النقطة $(x, y) = (9, 4)$ .

STEP 2

أولاً، نعيد كتابة المعادلة للتعبير عن $y$ كدالة في $x$ .
$\sqrt{y} = 5 - \sqrt{x}$

STEP 3

نربع طرفي المعادلة للتخلص من الجذر التربيعي.
$(\sqrt{y})^2 = (5 - \sqrt{x})^2$

STEP 4

نبسط المعادلة بعد التربيع.
$y = (5 - \sqrt{x})^2$

STEP 5

نستخدم قاعدة الضرب لتبسيط المعادلة أكثر.
$y = 25 - 10\sqrt{x} + x$

STEP 6

الآن، نحتاج إلى إيجاد المشتقة $\frac{dy}{dx}$ .
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(25) - \frac{d}{dx}(10\sqrt{x}) + \frac{d}{dx}(x)$

STEP 7

نحسب المشتقة الأولى لكل جزء.
$\frac{d}{dx}(25) = 0$ $\frac{d}{dx}(10\sqrt{x}) = 10 \cdot \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$ $\frac{d}{dx}(x) = 1$

STEP 8

نبسط المشتقة.
$\frac{dy}{dx} = 0 - 10 \cdot \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} + 1$

STEP 9

نبسط المشتقة أكثر.
$\frac{dy}{dx} = 1 - 5x^{-\frac{1}{2}}$

STEP 10

نستبدل $x$ بالقيمة 9 لإيجاد قيمة المشتقة عند $(x, y) = (9, 4)$ .
$\frac{dy}{dx} = 1 - 5(9)^{-\frac{1}{2}}$

STEP 11

نحسب القيمة العددية للمشتقة.
$\frac{dy}{dx} = 1 - 5 \cdot \frac{1}{3}$

STEP 12

نبسط الناتج.
$\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{5}{3}$

STEP 13

نواصل تبسيط الناتج للحصول على القيمة النهائية للمشتقة.
$\frac{dy}{dx} = \frac{3}{3} - \frac{5}{3}$

STEP 14

نجمع الكسور.
$\frac{dy}{dx} = \frac{3 - 5}{3}$

STEP 15

نحسب الناتج النهائي.
$\frac{dy}{dx} = -\frac{2}{3}$
إذاً، قيمة المشتقة $\frac{dy}{dx}$ عند النقطة $(x, y) = (9, 4)$ هي $-\frac{2}{3}$ .

Was this helpful?

Find the derivative of $\sqrt{x} + \sqrt{y} = 5$ at the point $(x, y) = (9, 4)$ .

STEP 1

الافتراضات
1. المعادلة المعطاة هي $\sqrt{x} + \sqrt{y} = 5$ .
2. يتم تعريف $y$ كدالة في $x$ .
3. نحتاج إلى إيجاد $\frac{dy}{dx}$ عند النقطة $(x, y) = (9, 4)$ .

STEP 2

أولاً، نعيد كتابة المعادلة للتعبير عن $y$ كدالة في $x$ .
$\sqrt{y} = 5 - \sqrt{x}$

STEP 3

نربع طرفي المعادلة للتخلص من الجذر التربيعي.
$(\sqrt{y})^2 = (5 - \sqrt{x})^2$

STEP 4

نبسط المعادلة بعد التربيع.
$y = (5 - \sqrt{x})^2$

STEP 5

نستخدم قاعدة الضرب لتبسيط المعادلة أكثر.
$y = 25 - 10\sqrt{x} + x$

STEP 6

الآن، نحتاج إلى إيجاد المشتقة $\frac{dy}{dx}$ .
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(25) - \frac{d}{dx}(10\sqrt{x}) + \frac{d}{dx}(x)$

STEP 7

نحسب المشتقة الأولى لكل جزء.
$\frac{d}{dx}(25) = 0$ $\frac{d}{dx}(10\sqrt{x}) = 10 \cdot \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$ $\frac{d}{dx}(x) = 1$

STEP 8

نبسط المشتقة.
$\frac{dy}{dx} = 0 - 10 \cdot \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} + 1$

STEP 9

نبسط المشتقة أكثر.
$\frac{dy}{dx} = 1 - 5x^{-\frac{1}{2}}$

STEP 10

نستبدل $x$ بالقيمة 9 لإيجاد قيمة المشتقة عند $(x, y) = (9, 4)$ .
$\frac{dy}{dx} = 1 - 5(9)^{-\frac{1}{2}}$

STEP 11

نحسب القيمة العددية للمشتقة.
$\frac{dy}{dx} = 1 - 5 \cdot \frac{1}{3}$

STEP 12

نبسط الناتج.
$\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{5}{3}$

STEP 13

نواصل تبسيط الناتج للحصول على القيمة النهائية للمشتقة.
$\frac{dy}{dx} = \frac{3}{3} - \frac{5}{3}$

STEP 14

نجمع الكسور.
$\frac{dy}{dx} = \frac{3 - 5}{3}$

STEP 15

نحسب الناتج النهائي.
$\frac{dy}{dx} = -\frac{2}{3}$
إذاً، قيمة المشتقة $\frac{dy}{dx}$ عند النقطة $(x, y) = (9, 4)$ هي $-\frac{2}{3}$ .

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

Find the derivative of x+y=5\sqrt{x} + \sqrt{y} = 5x​+y​=5 at the point (x,y)=(9,4)(x, y) = (9, 4)(x,y)=(9,4).

STEP 1

الافتراضات1. المعادلة المعطاة هي x+y=5\sqrt{x} + \sqrt{y} = 5x​+y​=5.2. يتم تعريف yyy كدالة في xxx.3. نحتاج إلى إيجاد dydx\frac{dy}{dx}dxdy​ عند النقطة (x,y)=(9,4)(x, y) = (9, 4)(x,y)=(9,4).

STEP 2

أولاً، نعيد كتابة المعادلة للتعبير عن yyy كدالة في xxx.y=5−x\sqrt{y} = 5 - \sqrt{x}y​=5−x​

STEP 3

نربع طرفي المعادلة للتخلص من الجذر التربيعي.(y)2=(5−x)2(\sqrt{y})^2 = (5 - \sqrt{x})^2(y​)2=(5−x​)2

STEP 4

نبسط المعادلة بعد التربيع.y=(5−x)2y = (5 - \sqrt{x})^2y=(5−x​)2

STEP 5

نستخدم قاعدة الضرب لتبسيط المعادلة أكثر.y=25−10x+xy = 25 - 10\sqrt{x} + xy=25−10x​+x

STEP 6

الآن، نحتاج إلى إيجاد المشتقة dydx\frac{dy}{dx}dxdy​.dydx=ddx(25)−ddx(10x)+ddx(x)\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(25) - \frac{d}{dx}(10\sqrt{x}) + \frac{d}{dx}(x)dxdy​=dxd​(25)−dxd​(10x​)+dxd​(x)

STEP 7

نحسب المشتقة الأولى لكل جزء.ddx(25)=0\frac{d}{dx}(25) = 0dxd​(25)=0 ddx(10x)=10⋅12x−12\frac{d}{dx}(10\sqrt{x}) = 10 \cdot \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}dxd​(10x​)=10⋅21​x−21​ ddx(x)=1\frac{d}{dx}(x) = 1dxd​(x)=1

STEP 8

نبسط المشتقة.dydx=0−10⋅12x−12+1\frac{dy}{dx} = 0 - 10 \cdot \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} + 1dxdy​=0−10⋅21​x−21​+1

STEP 9

نبسط المشتقة أكثر.dydx=1−5x−12\frac{dy}{dx} = 1 - 5x^{-\frac{1}{2}}dxdy​=1−5x−21​

STEP 10

نستبدل xxx بالقيمة 9 لإيجاد قيمة المشتقة عند (x,y)=(9,4)(x, y) = (9, 4)(x,y)=(9,4).dydx=1−5(9)−12\frac{dy}{dx} = 1 - 5(9)^{-\frac{1}{2}}dxdy​=1−5(9)−21​

STEP 11

نحسب القيمة العددية للمشتقة.dydx=1−5⋅13\frac{dy}{dx} = 1 - 5 \cdot \frac{1}{3}dxdy​=1−5⋅31​

STEP 12

نبسط الناتج.dydx=1−53\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{5}{3}dxdy​=1−35​

STEP 13

نواصل تبسيط الناتج للحصول على القيمة النهائية للمشتقة.dydx=33−53\frac{dy}{dx} = \frac{3}{3} - \frac{5}{3}dxdy​=33​−35​

STEP 14

نجمع الكسور.dydx=3−53\frac{dy}{dx} = \frac{3 - 5}{3}dxdy​=33−5​

STEP 15

نحسب الناتج النهائي.dydx=−23\frac{dy}{dx} = -\frac{2}{3}dxdy​=−32​إذاً، قيمة المشتقة dydx\frac{dy}{dx}dxdy​ عند النقطة (x,y)=(9,4)(x, y) = (9, 4)(x,y)=(9,4) هي −23-\frac{2}{3}−32​.

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

Find the derivative of $\sqrt{x} + \sqrt{y} = 5$ at the point $(x, y) = (9, 4)$ .

الافتراضات
1. المعادلة المعطاة هي $\sqrt{x} + \sqrt{y} = 5$ .
2. يتم تعريف $y$ كدالة في $x$ .
3. نحتاج إلى إيجاد $\frac{dy}{dx}$ عند النقطة $(x, y) = (9, 4)$ .

أولاً، نعيد كتابة المعادلة للتعبير عن $y$ كدالة في $x$ .
$\sqrt{y} = 5 - \sqrt{x}$

نربع طرفي المعادلة للتخلص من الجذر التربيعي.
$(\sqrt{y})^2 = (5 - \sqrt{x})^2$

نبسط المعادلة بعد التربيع.
$y = (5 - \sqrt{x})^2$

نستخدم قاعدة الضرب لتبسيط المعادلة أكثر.
$y = 25 - 10\sqrt{x} + x$

الآن، نحتاج إلى إيجاد المشتقة $\frac{dy}{dx}$ .
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(25) - \frac{d}{dx}(10\sqrt{x}) + \frac{d}{dx}(x)$

نحسب المشتقة الأولى لكل جزء.
$\frac{d}{dx}(25) = 0$ $\frac{d}{dx}(10\sqrt{x}) = 10 \cdot \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$ $\frac{d}{dx}(x) = 1$

نبسط المشتقة.
$\frac{dy}{dx} = 0 - 10 \cdot \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} + 1$

نبسط المشتقة أكثر.
$\frac{dy}{dx} = 1 - 5x^{-\frac{1}{2}}$

نستبدل $x$ بالقيمة 9 لإيجاد قيمة المشتقة عند $(x, y) = (9, 4)$ .
$\frac{dy}{dx} = 1 - 5(9)^{-\frac{1}{2}}$

نحسب القيمة العددية للمشتقة.
$\frac{dy}{dx} = 1 - 5 \cdot \frac{1}{3}$

نبسط الناتج.
$\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{5}{3}$

نواصل تبسيط الناتج للحصول على القيمة النهائية للمشتقة.
$\frac{dy}{dx} = \frac{3}{3} - \frac{5}{3}$

نجمع الكسور.
$\frac{dy}{dx} = \frac{3 - 5}{3}$

نحسب الناتج النهائي.
$\frac{dy}{dx} = -\frac{2}{3}$
إذاً، قيمة المشتقة $\frac{dy}{dx}$ عند النقطة $(x, y) = (9, 4)$ هي $-\frac{2}{3}$ .