Solved on Nov 22, 2023

Solve the differential equation $4 e^{t} \cdot(e^{t}-1)=0$ for the value of $t$ .

STEP 1

Annahmen1. Die gegebene Gleichung ist $4 e^{t} \cdot\left(e^{t}-1\right)=0$

STEP 2

Um diese Gleichung zu lösen, setzen wir jeden Faktor gleich Null, da das Produkt von zwei Zahlen nur dann Null ist, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist.
$4 e^{t} =0 \quad \text{und} \quad e^{t} -1 =0$

STEP 3

ösen Sie die erste Gleichung $e^{t} =0$ .
Da $e^{t}$ immer größer als Null ist (für alle reellen Zahlen $t$ ), ist die einzige Lösung dieser Gleichung $t = \infty$ . Aber $\infty$ ist keine reelle Zahl, also hat diese Gleichung keine Lösung.

STEP 4

ösen Sie die zweite Gleichung $e^{t} -1 =0$ .
Um diese Gleichung zu lösen, fügen Sie1 auf beiden Seiten der Gleichung hinzu.
$e^{t} =1$

STEP 5

ehmen Sie den natürlichen Logarithmus auf beiden Seiten der Gleichung.
$\ln(e^{t}) = \ln(1)$

STEP 6

Verwenden Sie die Eigenschaft des Logarithmus, $\ln(e^{t}) = t$ .
$t = \ln(1)$

STEP 7

Berechnen Sie den Wert von $\ln(1)$ .
$t =0$ Die Lösung der gegebenen Gleichung ist $t =0$ .

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Solve the differential equation $4 e^{t} \cdot(e^{t}-1)=0$ for the value of $t$ .

STEP 1

Annahmen1. Die gegebene Gleichung ist $4 e^{t} \cdot\left(e^{t}-1\right)=0$

STEP 2

Um diese Gleichung zu lösen, setzen wir jeden Faktor gleich Null, da das Produkt von zwei Zahlen nur dann Null ist, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist.
$4 e^{t} =0 \quad \text{und} \quad e^{t} -1 =0$

STEP 3

ösen Sie die erste Gleichung $e^{t} =0$ .
Da $e^{t}$ immer größer als Null ist (für alle reellen Zahlen $t$ ), ist die einzige Lösung dieser Gleichung $t = \infty$ . Aber $\infty$ ist keine reelle Zahl, also hat diese Gleichung keine Lösung.

STEP 4

ösen Sie die zweite Gleichung $e^{t} -1 =0$ .
Um diese Gleichung zu lösen, fügen Sie1 auf beiden Seiten der Gleichung hinzu.
$e^{t} =1$

STEP 5

ehmen Sie den natürlichen Logarithmus auf beiden Seiten der Gleichung.
$\ln(e^{t}) = \ln(1)$

STEP 6

Verwenden Sie die Eigenschaft des Logarithmus, $\ln(e^{t}) = t$ .
$t = \ln(1)$

STEP 7

Berechnen Sie den Wert von $\ln(1)$ .
$t =0$ Die Lösung der gegebenen Gleichung ist $t =0$ .

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Solve the differential equation 4et⋅(et−1)=04 e^{t} \cdot(e^{t}-1)=04et⋅(et−1)=0 for the value of ttt.

STEP 1

Annahmen1. Die gegebene Gleichung ist 4et⋅(et−1)=04 e^{t} \cdot\left(e^{t}-1\right)=04et⋅(et−1)=0

STEP 2

Um diese Gleichung zu lösen, setzen wir jeden Faktor gleich Null, da das Produkt von zwei Zahlen nur dann Null ist, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist.4et=0undet−1=04 e^{t} =0 \quad \text{und} \quad e^{t} -1 =04et=0undet−1=0

STEP 3

ösen Sie die erste Gleichung et=0 e^{t} =0et=0.Da ete^{t}et immer größer als Null ist (für alle reellen Zahlen ttt), ist die einzige Lösung dieser Gleichung t=∞t = \inftyt=∞. Aber ∞\infty∞ ist keine reelle Zahl, also hat diese Gleichung keine Lösung.

STEP 4

ösen Sie die zweite Gleichung et−1=0e^{t} -1 =0et−1=0.Um diese Gleichung zu lösen, fügen Sie1 auf beiden Seiten der Gleichung hinzu.et=1e^{t} =1et=1

STEP 5

ehmen Sie den natürlichen Logarithmus auf beiden Seiten der Gleichung.ln⁡(et)=ln⁡(1)\ln(e^{t}) = \ln(1)ln(et)=ln(1)

STEP 6

Verwenden Sie die Eigenschaft des Logarithmus, ln⁡(et)=t\ln(e^{t}) = tln(et)=t.t=ln⁡(1)t = \ln(1)t=ln(1)

STEP 7

Berechnen Sie den Wert von ln⁡(1)\ln(1)ln(1).t=0t =0t=0Die Lösung der gegebenen Gleichung ist t=0t =0t=0.

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Solve the differential equation $4 e^{t} \cdot(e^{t}-1)=0$ for the value of $t$ .

Annahmen1. Die gegebene Gleichung ist $4 e^{t} \cdot\left(e^{t}-1\right)=0$

Um diese Gleichung zu lösen, setzen wir jeden Faktor gleich Null, da das Produkt von zwei Zahlen nur dann Null ist, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist.
$4 e^{t} =0 \quad \text{und} \quad e^{t} -1 =0$

ösen Sie die erste Gleichung $e^{t} =0$ .
Da $e^{t}$ immer größer als Null ist (für alle reellen Zahlen $t$ ), ist die einzige Lösung dieser Gleichung $t = \infty$ . Aber $\infty$ ist keine reelle Zahl, also hat diese Gleichung keine Lösung.

ösen Sie die zweite Gleichung $e^{t} -1 =0$ .
Um diese Gleichung zu lösen, fügen Sie1 auf beiden Seiten der Gleichung hinzu.
$e^{t} =1$

ehmen Sie den natürlichen Logarithmus auf beiden Seiten der Gleichung.
$\ln(e^{t}) = \ln(1)$

Verwenden Sie die Eigenschaft des Logarithmus, $\ln(e^{t}) = t$ .
$t = \ln(1)$

Berechnen Sie den Wert von $\ln(1)$ .
$t =0$ Die Lösung der gegebenen Gleichung ist $t =0$ .