Solved on Mar 05, 2024

Solve the quadratic equation $2x(3x-1) = 2x-4$ for $x$ .

STEP 1

الافتراضات
1. المعادلة المطلوب حلها هي $2x(3x-1)=2x-4$ .
2. نحتاج إلى إيجاد قيمة $x$ التي تحقق المعادلة.

STEP 2

أولاً، نقوم بتوزيع الضرب في الطرف الأيسر من المعادلة.
$2x(3x) - 2x(1) = 2x - 4$

STEP 3

نقوم بالضرب للحصول على النتائج.
$6x^2 - 2x = 2x - 4$

STEP 4

ننقل جميع الحدود إلى طرف واحد للحصول على معادلة من الدرجة الثانية.
$6x^2 - 2x - 2x + 4 = 0$

STEP 5

نجمع الحدود المتشابهة.
$6x^2 - 4x + 4 = 0$

STEP 6

نحاول تحليل المعادلة الرباعية إلى عوامل إذا أمكن.
لكن في هذه الحالة، لا يبدو أن المعادلة يمكن تحليلها بسهولة، لذا سنستخدم القانون العام لحل معادلات الدرجة الثانية.

STEP 7

القانون العام لحل معادلات الدرجة الثانية هو:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
حيث $a = 6$ , $b = -4$ , و $c = 4$ .

STEP 8

نحسب القيمة تحت الجذر الثاني ( $b^2 - 4ac$ ).
$\Delta = b^2 - 4ac$
$\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 4$

STEP 9

نقوم بالعمليات الحسابية.
$\Delta = 16 - 96$
$\Delta = -80$

STEP 10

لدينا قيمة سالبة تحت الجذر الثاني، مما يعني أن المعادلة ليس لها حلول حقيقية.
بما أن $\Delta < 0$ ، فإن المعادلة لها حلول مركبة.

STEP 11

نكتب الحلول المركبة باستخدام القانون العام.
$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{-80}}{2 \cdot 6}$
$x = \frac{4 \pm \sqrt{-80}}{12}$

STEP 12

نبسط الجذر المركب.
$\sqrt{-80} = \sqrt{80}i$
حيث $i$ هي الوحدة التخيلية.

STEP 13

نبسط الجذر $\sqrt{80}$ .
$\sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}$

STEP 14

نضع القيمة المبسطة في الحل.
$x = \frac{4 \pm 4\sqrt{5}i}{12}$

STEP 15

نبسط الكسر بقسمة البسط والمقام على 4.
$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}i}{3}$

STEP 16

نكتب الحل النهائي للمعادلة.
الحلول هي:
$x = \frac{1 + \sqrt{5}i}{3} \quad \text{و} \quad x = \frac{1 - \sqrt{5}i}{3}$
هذه هي الحلول المركبة للمعادلة $2x(3x-1)=2x-4$ .

Was this helpful?

Solve the quadratic equation $2x(3x-1) = 2x-4$ for $x$ .

STEP 1

الافتراضات
1. المعادلة المطلوب حلها هي $2x(3x-1)=2x-4$ .
2. نحتاج إلى إيجاد قيمة $x$ التي تحقق المعادلة.

STEP 2

أولاً، نقوم بتوزيع الضرب في الطرف الأيسر من المعادلة.
$2x(3x) - 2x(1) = 2x - 4$

STEP 3

نقوم بالضرب للحصول على النتائج.
$6x^2 - 2x = 2x - 4$

STEP 4

ننقل جميع الحدود إلى طرف واحد للحصول على معادلة من الدرجة الثانية.
$6x^2 - 2x - 2x + 4 = 0$

STEP 5

نجمع الحدود المتشابهة.
$6x^2 - 4x + 4 = 0$

STEP 6

نحاول تحليل المعادلة الرباعية إلى عوامل إذا أمكن.
لكن في هذه الحالة، لا يبدو أن المعادلة يمكن تحليلها بسهولة، لذا سنستخدم القانون العام لحل معادلات الدرجة الثانية.

STEP 7

القانون العام لحل معادلات الدرجة الثانية هو:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
حيث $a = 6$ , $b = -4$ , و $c = 4$ .

STEP 8

نحسب القيمة تحت الجذر الثاني ( $b^2 - 4ac$ ).
$\Delta = b^2 - 4ac$
$\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 4$

STEP 9

نقوم بالعمليات الحسابية.
$\Delta = 16 - 96$
$\Delta = -80$

STEP 10

لدينا قيمة سالبة تحت الجذر الثاني، مما يعني أن المعادلة ليس لها حلول حقيقية.
بما أن $\Delta < 0$ ، فإن المعادلة لها حلول مركبة.

STEP 11

نكتب الحلول المركبة باستخدام القانون العام.
$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{-80}}{2 \cdot 6}$
$x = \frac{4 \pm \sqrt{-80}}{12}$

STEP 12

نبسط الجذر المركب.
$\sqrt{-80} = \sqrt{80}i$
حيث $i$ هي الوحدة التخيلية.

STEP 13

نبسط الجذر $\sqrt{80}$ .
$\sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}$

STEP 14

نضع القيمة المبسطة في الحل.
$x = \frac{4 \pm 4\sqrt{5}i}{12}$

STEP 15

نبسط الكسر بقسمة البسط والمقام على 4.
$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}i}{3}$

STEP 16

نكتب الحل النهائي للمعادلة.
الحلول هي:
$x = \frac{1 + \sqrt{5}i}{3} \quad \text{و} \quad x = \frac{1 - \sqrt{5}i}{3}$
هذه هي الحلول المركبة للمعادلة $2x(3x-1)=2x-4$ .

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

Solve the quadratic equation 2x(3x−1)=2x−42x(3x-1) = 2x-42x(3x−1)=2x−4 for xxx.

STEP 1

الافتراضات1. المعادلة المطلوب حلها هي 2x(3x−1)=2x−42x(3x-1)=2x-42x(3x−1)=2x−4.2. نحتاج إلى إيجاد قيمة xxx التي تحقق المعادلة.

STEP 2

أولاً، نقوم بتوزيع الضرب في الطرف الأيسر من المعادلة.2x(3x)−2x(1)=2x−42x(3x) - 2x(1) = 2x - 42x(3x)−2x(1)=2x−4

STEP 3

نقوم بالضرب للحصول على النتائج.6x2−2x=2x−46x^2 - 2x = 2x - 46x2−2x=2x−4

STEP 4

ننقل جميع الحدود إلى طرف واحد للحصول على معادلة من الدرجة الثانية.6x2−2x−2x+4=06x^2 - 2x - 2x + 4 = 06x2−2x−2x+4=0

STEP 5

نجمع الحدود المتشابهة.6x2−4x+4=06x^2 - 4x + 4 = 06x2−4x+4=0

STEP 6

نحاول تحليل المعادلة الرباعية إلى عوامل إذا أمكن.لكن في هذه الحالة، لا يبدو أن المعادلة يمكن تحليلها بسهولة، لذا سنستخدم القانون العام لحل معادلات الدرجة الثانية.

STEP 7

القانون العام لحل معادلات الدرجة الثانية هو:x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}x=2a−b±b2−4ac​​حيث a=6a = 6a=6, b=−4b = -4b=−4, و c=4c = 4c=4.

STEP 8

نحسب القيمة تحت الجذر الثاني (b2−4acb^2 - 4acb2−4ac).Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4acΔ=b2−4acΔ=(−4)2−4⋅6⋅4\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 4Δ=(−4)2−4⋅6⋅4

STEP 9

نقوم بالعمليات الحسابية.Δ=16−96\Delta = 16 - 96Δ=16−96Δ=−80\Delta = -80Δ=−80

STEP 10

لدينا قيمة سالبة تحت الجذر الثاني، مما يعني أن المعادلة ليس لها حلول حقيقية.بما أن Δ<0\Delta < 0Δ<0، فإن المعادلة لها حلول مركبة.

STEP 11

نكتب الحلول المركبة باستخدام القانون العام.x=−(−4)±−802⋅6x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{-80}}{2 \cdot 6}x=2⋅6−(−4)±−80​​x=4±−8012x = \frac{4 \pm \sqrt{-80}}{12}x=124±−80​​

STEP 12

نبسط الجذر المركب.−80=80i\sqrt{-80} = \sqrt{80}i−80​=80​iحيث iii هي الوحدة التخيلية.

STEP 13

نبسط الجذر 80\sqrt{80}80​.80=16⋅5=45\sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}80​=16⋅5​=45​

STEP 14

نضع القيمة المبسطة في الحل.x=4±45i12x = \frac{4 \pm 4\sqrt{5}i}{12}x=124±45​i​

STEP 15

نبسط الكسر بقسمة البسط والمقام على 4.x=1±5i3x = \frac{1 \pm \sqrt{5}i}{3}x=31±5​i​

STEP 16

نكتب الحل النهائي للمعادلة.الحلول هي:x=1+5i3وx=1−5i3x = \frac{1 + \sqrt{5}i}{3} \quad \text{و} \quad x = \frac{1 - \sqrt{5}i}{3}x=31+5​i​وx=31−5​i​هذه هي الحلول المركبة للمعادلة 2x(3x−1)=2x−42x(3x-1)=2x-42x(3x−1)=2x−4.

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

Solve the quadratic equation $2x(3x-1) = 2x-4$ for $x$ .

الافتراضات
1. المعادلة المطلوب حلها هي $2x(3x-1)=2x-4$ .
2. نحتاج إلى إيجاد قيمة $x$ التي تحقق المعادلة.

أولاً، نقوم بتوزيع الضرب في الطرف الأيسر من المعادلة.
$2x(3x) - 2x(1) = 2x - 4$

نقوم بالضرب للحصول على النتائج.
$6x^2 - 2x = 2x - 4$

ننقل جميع الحدود إلى طرف واحد للحصول على معادلة من الدرجة الثانية.
$6x^2 - 2x - 2x + 4 = 0$

نجمع الحدود المتشابهة.
$6x^2 - 4x + 4 = 0$

نحاول تحليل المعادلة الرباعية إلى عوامل إذا أمكن.
لكن في هذه الحالة، لا يبدو أن المعادلة يمكن تحليلها بسهولة، لذا سنستخدم القانون العام لحل معادلات الدرجة الثانية.

القانون العام لحل معادلات الدرجة الثانية هو:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
حيث $a = 6$ , $b = -4$ , و $c = 4$ .

نحسب القيمة تحت الجذر الثاني ( $b^2 - 4ac$ ).
$\Delta = b^2 - 4ac$
$\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 4$

نقوم بالعمليات الحسابية.
$\Delta = 16 - 96$
$\Delta = -80$

لدينا قيمة سالبة تحت الجذر الثاني، مما يعني أن المعادلة ليس لها حلول حقيقية.
بما أن $\Delta < 0$ ، فإن المعادلة لها حلول مركبة.

نكتب الحلول المركبة باستخدام القانون العام.
$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{-80}}{2 \cdot 6}$
$x = \frac{4 \pm \sqrt{-80}}{12}$

نبسط الجذر المركب.
$\sqrt{-80} = \sqrt{80}i$
حيث $i$ هي الوحدة التخيلية.

نبسط الجذر $\sqrt{80}$ .
$\sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}$

نضع القيمة المبسطة في الحل.
$x = \frac{4 \pm 4\sqrt{5}i}{12}$

نبسط الكسر بقسمة البسط والمقام على 4.
$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}i}{3}$

نكتب الحل النهائي للمعادلة.
الحلول هي:
$x = \frac{1 + \sqrt{5}i}{3} \quad \text{و} \quad x = \frac{1 - \sqrt{5}i}{3}$
هذه هي الحلول المركبة للمعادلة $2x(3x-1)=2x-4$ .