Solved on Jan 15, 2024

Simplify lne3+2lne+e3ln42eln2\ln e^{3} + 2 \ln \sqrt{e} + e^{3 \ln 4} - 2 e^{-\ln 2}.

STEP 1

Hypothèses
1. Les propriétés des logarithmes et des exponentielles seront utilisées pour simplifier l'expression.
2. lnex=x\ln e^{x} = x car ln\ln est le logarithme naturel de base ee.
3. 2lne=ln(e)22 \ln \sqrt{e} = \ln (\sqrt{e})^2 en utilisant la propriété du logarithme alnb=lnbaa \ln b = \ln b^a.
4. e3ln4=(eln4)3e^{3 \ln 4} = (e^{\ln 4})^3 en utilisant la propriété des exponentielles abc=(ab)ca^{bc} = (a^b)^c.
5. eln2=1eln2e^{-\ln 2} = \frac{1}{e^{\ln 2}} en utilisant la propriété des exponentielles ab=1aba^{-b} = \frac{1}{a^b}.

STEP 2

Simplifier le premier terme en utilisant la propriété du logarithme naturel.
lne3=3\ln e^{3} = 3

STEP 3

Simplifier le deuxième terme en utilisant la propriété du logarithme.
2lne=ln(e)2=lne=12 \ln \sqrt{e} = \ln (\sqrt{e})^2 = \ln e = 1

STEP 4

Simplifier le troisième terme en utilisant la propriété des exponentielles.
e3ln4=(eln4)3=43e^{3 \ln 4} = (e^{\ln 4})^3 = 4^3

STEP 5

Calculer la valeur numérique du troisième terme.
43=644^3 = 64

STEP 6

Simplifier le quatrième terme en utilisant la propriété des exponentielles.
eln2=1eln2=12e^{-\ln 2} = \frac{1}{e^{\ln 2}} = \frac{1}{2}

STEP 7

Maintenant, nous allons combiner tous les termes simplifiés.
lne3+2lne+e3ln42eln2=3+1+64212\ln e^{3}+2 \ln \sqrt{e}+e^{3 \ln 4}-2 e^{-\ln 2} = 3 + 1 + 64 - 2 \cdot \frac{1}{2}

STEP 8

Calculer la valeur numérique de l'expression.
3+1+64212=3+1+641=673 + 1 + 64 - 2 \cdot \frac{1}{2} = 3 + 1 + 64 - 1 = 67
La solution est 6767.

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