Solved on Feb 21, 2024

Demuestra que si $a$ es impar, entonces $a^2 + 3a + 5$ es impar.

STEP 1

Suposiciones
1. La variable $a$ es un número impar.
2. Un número impar se puede expresar como $2k + 1$ , donde $k$ es un número entero.
3. Necesitamos demostrar que la expresión $a^{2} + 3a + 5$ es impar.

STEP 2

Expresamos $a$ como un número impar utilizando la forma general $2k + 1$ .
$a = 2k + 1$

STEP 3

Sustituimos $a$ en la expresión $a^{2} + 3a + 5$ con $2k + 1$ .
$a^{2} + 3a + 5 = (2k + 1)^{2} + 3(2k + 1) + 5$

STEP 4

Expandimos el cuadrado de binomio $(2k + 1)^{2}$ .
$(2k + 1)^{2} = (2k)^{2} + 2(2k)(1) + 1^{2}$

STEP 5

Calculamos el cuadrado de binomio.
$(2k + 1)^{2} = 4k^{2} + 4k + 1$

STEP 6

Expandimos la multiplicación $3(2k + 1)$ .
$3(2k + 1) = 6k + 3$

STEP 7

Sustituimos $(2k + 1)^{2}$ y $3(2k + 1)$ en la expresión original.
$a^{2} + 3a + 5 = 4k^{2} + 4k + 1 + 6k + 3 + 5$

STEP 8

Sumamos los términos semejantes en la expresión.
$a^{2} + 3a + 5 = 4k^{2} + 10k + 9$

STEP 9

Observamos que $4k^{2}$ y $10k$ son pares, ya que son múltiplos de 2.

STEP 10

Observamos que la suma de dos números pares es par. Por lo tanto, $4k^{2} + 10k$ es par.

STEP 11

Observamos que la suma de un número par y un número impar es impar. Por lo tanto, la suma de un número par ( $4k^{2} + 10k$ ) y un número impar (9) es impar.

STEP 12

Concluimos que la expresión $a^{2} + 3a + 5$ es impar, ya que es la suma de un número par y el número impar 9.
Por lo tanto, hemos demostrado que si $a$ es impar, entonces $a^{2} + 3a + 5$ también es impar.

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Demuestra que si $a$ es impar, entonces $a^2 + 3a + 5$ es impar.

STEP 1

Suposiciones
1. La variable $a$ es un número impar.
2. Un número impar se puede expresar como $2k + 1$ , donde $k$ es un número entero.
3. Necesitamos demostrar que la expresión $a^{2} + 3a + 5$ es impar.

STEP 2

Expresamos $a$ como un número impar utilizando la forma general $2k + 1$ .
$a = 2k + 1$

STEP 3

Sustituimos $a$ en la expresión $a^{2} + 3a + 5$ con $2k + 1$ .
$a^{2} + 3a + 5 = (2k + 1)^{2} + 3(2k + 1) + 5$

STEP 4

Expandimos el cuadrado de binomio $(2k + 1)^{2}$ .
$(2k + 1)^{2} = (2k)^{2} + 2(2k)(1) + 1^{2}$

STEP 5

Calculamos el cuadrado de binomio.
$(2k + 1)^{2} = 4k^{2} + 4k + 1$

STEP 6

Expandimos la multiplicación $3(2k + 1)$ .
$3(2k + 1) = 6k + 3$

STEP 7

Sustituimos $(2k + 1)^{2}$ y $3(2k + 1)$ en la expresión original.
$a^{2} + 3a + 5 = 4k^{2} + 4k + 1 + 6k + 3 + 5$

STEP 8

Sumamos los términos semejantes en la expresión.
$a^{2} + 3a + 5 = 4k^{2} + 10k + 9$

STEP 9

Observamos que $4k^{2}$ y $10k$ son pares, ya que son múltiplos de 2.

STEP 10

Observamos que la suma de dos números pares es par. Por lo tanto, $4k^{2} + 10k$ es par.

STEP 11

Observamos que la suma de un número par y un número impar es impar. Por lo tanto, la suma de un número par ( $4k^{2} + 10k$ ) y un número impar (9) es impar.

STEP 12

Concluimos que la expresión $a^{2} + 3a + 5$ es impar, ya que es la suma de un número par y el número impar 9.
Por lo tanto, hemos demostrado que si $a$ es impar, entonces $a^{2} + 3a + 5$ también es impar.

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Demuestra que si aaa es impar, entonces a2+3a+5a^2 + 3a + 5a2+3a+5 es impar.

STEP 1

Suposiciones1. La variable aaa es un número impar.2. Un número impar se puede expresar como 2k+12k + 12k+1, donde kkk es un número entero.3. Necesitamos demostrar que la expresión a2+3a+5a^{2} + 3a + 5a2+3a+5 es impar.

STEP 2

Expresamos aaa como un número impar utilizando la forma general 2k+12k + 12k+1.a=2k+1a = 2k + 1a=2k+1

STEP 3

Sustituimos aaa en la expresión a2+3a+5a^{2} + 3a + 5a2+3a+5 con 2k+12k + 12k+1.a2+3a+5=(2k+1)2+3(2k+1)+5a^{2} + 3a + 5 = (2k + 1)^{2} + 3(2k + 1) + 5a2+3a+5=(2k+1)2+3(2k+1)+5

STEP 4

Expandimos el cuadrado de binomio (2k+1)2(2k + 1)^{2}(2k+1)2.(2k+1)2=(2k)2+2(2k)(1)+12(2k + 1)^{2} = (2k)^{2} + 2(2k)(1) + 1^{2}(2k+1)2=(2k)2+2(2k)(1)+12

STEP 5

Calculamos el cuadrado de binomio.(2k+1)2=4k2+4k+1(2k + 1)^{2} = 4k^{2} + 4k + 1(2k+1)2=4k2+4k+1

STEP 6

Expandimos la multiplicación 3(2k+1)3(2k + 1)3(2k+1).3(2k+1)=6k+33(2k + 1) = 6k + 33(2k+1)=6k+3

STEP 7

Sustituimos (2k+1)2(2k + 1)^{2}(2k+1)2 y 3(2k+1)3(2k + 1)3(2k+1) en la expresión original.a2+3a+5=4k2+4k+1+6k+3+5a^{2} + 3a + 5 = 4k^{2} + 4k + 1 + 6k + 3 + 5a2+3a+5=4k2+4k+1+6k+3+5

STEP 8

Sumamos los términos semejantes en la expresión.a2+3a+5=4k2+10k+9a^{2} + 3a + 5 = 4k^{2} + 10k + 9a2+3a+5=4k2+10k+9

STEP 9

Observamos que 4k24k^{2}4k2 y 10k10k10k son pares, ya que son múltiplos de 2.

STEP 10

Observamos que la suma de dos números pares es par. Por lo tanto, 4k2+10k4k^{2} + 10k4k2+10k es par.

STEP 11

Observamos que la suma de un número par y un número impar es impar. Por lo tanto, la suma de un número par (4k2+10k4k^{2} + 10k4k2+10k) y un número impar (9) es impar.

STEP 12

Concluimos que la expresión a2+3a+5a^{2} + 3a + 5a2+3a+5 es impar, ya que es la suma de un número par y el número impar 9.Por lo tanto, hemos demostrado que si aaa es impar, entonces a2+3a+5a^{2} + 3a + 5a2+3a+5 también es impar.

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Demuestra que si $a$ es impar, entonces $a^2 + 3a + 5$ es impar.

Suposiciones
1. La variable $a$ es un número impar.
2. Un número impar se puede expresar como $2k + 1$ , donde $k$ es un número entero.
3. Necesitamos demostrar que la expresión $a^{2} + 3a + 5$ es impar.

Expresamos $a$ como un número impar utilizando la forma general $2k + 1$ .
$a = 2k + 1$

Sustituimos $a$ en la expresión $a^{2} + 3a + 5$ con $2k + 1$ .
$a^{2} + 3a + 5 = (2k + 1)^{2} + 3(2k + 1) + 5$

Expandimos el cuadrado de binomio $(2k + 1)^{2}$ .
$(2k + 1)^{2} = (2k)^{2} + 2(2k)(1) + 1^{2}$

Calculamos el cuadrado de binomio.
$(2k + 1)^{2} = 4k^{2} + 4k + 1$

Expandimos la multiplicación $3(2k + 1)$ .
$3(2k + 1) = 6k + 3$

Sustituimos $(2k + 1)^{2}$ y $3(2k + 1)$ en la expresión original.
$a^{2} + 3a + 5 = 4k^{2} + 4k + 1 + 6k + 3 + 5$

Sumamos los términos semejantes en la expresión.
$a^{2} + 3a + 5 = 4k^{2} + 10k + 9$

Observamos que $4k^{2}$ y $10k$ son pares, ya que son múltiplos de 2.

Observamos que la suma de dos números pares es par. Por lo tanto, $4k^{2} + 10k$ es par.

Observamos que la suma de un número par y un número impar es impar. Por lo tanto, la suma de un número par ( $4k^{2} + 10k$ ) y un número impar (9) es impar.

Concluimos que la expresión $a^{2} + 3a + 5$ es impar, ya que es la suma de un número par y el número impar 9.
Por lo tanto, hemos demostrado que si $a$ es impar, entonces $a^{2} + 3a + 5$ también es impar.