Solved on Feb 09, 2024

Find the indefinite integral of $\cos^2 3x$ .

STEP 1

الافتراضات
1. نحتاج إلى حساب التكامل الغير محدود للدالة $\cos 3x \cos 3x$ بالنسبة لـ $x$ .
2. سنستخدم هويات مثلثية لتبسيط التعبير قبل التكامل.

STEP 2

نبدأ بتبسيط التعبير باستخدام هوية مثلثية. هوية الجيب التمام للزاوية المزدوجة تنص على أن:
$\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$

STEP 3

نطبق الهوية على التعبير $\cos 3x \cos 3x$ بتعويض $\theta$ بـ $3x$ .
$\cos 3x \cos 3x = \cos^2 3x = \frac{1 + \cos 6x}{2}$

STEP 4

الآن نحتاج إلى حساب التكامل للتعبير المبسط.
$\int \cos 3x \cos 3x dx = \int \frac{1 + \cos 6x}{2} dx$

STEP 5

نقسم التكامل إلى تكاملين منفصلين.
$\int \frac{1 + \cos 6x}{2} dx = \frac{1}{2} \int 1 dx + \frac{1}{2} \int \cos 6x dx$

STEP 6

نحسب التكامل الأول.
$\frac{1}{2} \int 1 dx = \frac{1}{2} x$

STEP 7

نحسب التكامل الثاني. نستخدم قاعدة التكامل للجيب التمام.
$\int \cos ax dx = \frac{1}{a} \sin ax + C$

STEP 8

نطبق القاعدة على التكامل الثاني بتعويض $a$ بـ $6$ .
$\frac{1}{2} \int \cos 6x dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} \sin 6x + C$

STEP 9

نبسط التعبير.
$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} \sin 6x + C = \frac{1}{12} \sin 6x + C$

STEP 10

نجمع النتائج للحصول على التكامل الكلي.
$\int \cos 3x \cos 3x dx = \frac{1}{2} x + \frac{1}{12} \sin 6x + C$
حيث $C$ هي ثابت التكامل.
الحل هو:
$\int \cos 3x \cos 3x dx = \frac{1}{2} x + \frac{1}{12} \sin 6x + C$

Was this helpful?

Find the indefinite integral of $\cos^2 3x$ .

STEP 1

الافتراضات
1. نحتاج إلى حساب التكامل الغير محدود للدالة $\cos 3x \cos 3x$ بالنسبة لـ $x$ .
2. سنستخدم هويات مثلثية لتبسيط التعبير قبل التكامل.

STEP 2

نبدأ بتبسيط التعبير باستخدام هوية مثلثية. هوية الجيب التمام للزاوية المزدوجة تنص على أن:
$\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$

STEP 3

نطبق الهوية على التعبير $\cos 3x \cos 3x$ بتعويض $\theta$ بـ $3x$ .
$\cos 3x \cos 3x = \cos^2 3x = \frac{1 + \cos 6x}{2}$

STEP 4

الآن نحتاج إلى حساب التكامل للتعبير المبسط.
$\int \cos 3x \cos 3x dx = \int \frac{1 + \cos 6x}{2} dx$

STEP 5

نقسم التكامل إلى تكاملين منفصلين.
$\int \frac{1 + \cos 6x}{2} dx = \frac{1}{2} \int 1 dx + \frac{1}{2} \int \cos 6x dx$

STEP 6

نحسب التكامل الأول.
$\frac{1}{2} \int 1 dx = \frac{1}{2} x$

STEP 7

نحسب التكامل الثاني. نستخدم قاعدة التكامل للجيب التمام.
$\int \cos ax dx = \frac{1}{a} \sin ax + C$

STEP 8

نطبق القاعدة على التكامل الثاني بتعويض $a$ بـ $6$ .
$\frac{1}{2} \int \cos 6x dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} \sin 6x + C$

STEP 9

نبسط التعبير.
$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} \sin 6x + C = \frac{1}{12} \sin 6x + C$

STEP 10

نجمع النتائج للحصول على التكامل الكلي.
$\int \cos 3x \cos 3x dx = \frac{1}{2} x + \frac{1}{12} \sin 6x + C$
حيث $C$ هي ثابت التكامل.
الحل هو:
$\int \cos 3x \cos 3x dx = \frac{1}{2} x + \frac{1}{12} \sin 6x + C$

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

Find the indefinite integral of cos⁡23x\cos^2 3xcos23x.

STEP 1

الافتراضات1. نحتاج إلى حساب التكامل الغير محدود للدالة cos⁡3xcos⁡3x\cos 3x \cos 3xcos3xcos3x بالنسبة لـxxx.2. سنستخدم هويات مثلثية لتبسيط التعبير قبل التكامل.

STEP 2

نبدأ بتبسيط التعبير باستخدام هوية مثلثية. هوية الجيب التمام للزاوية المزدوجة تنص على أن:cos⁡2θ=1+cos⁡2θ2\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}cos2θ=21+cos2θ​

STEP 3

نطبق الهوية على التعبير cos⁡3xcos⁡3x\cos 3x \cos 3xcos3xcos3x بتعويض θ\thetaθ بـ3x3x3x.cos⁡3xcos⁡3x=cos⁡23x=1+cos⁡6x2\cos 3x \cos 3x = \cos^2 3x = \frac{1 + \cos 6x}{2}cos3xcos3x=cos23x=21+cos6x​

STEP 4

الآن نحتاج إلى حساب التكامل للتعبير المبسط.∫cos⁡3xcos⁡3xdx=∫1+cos⁡6x2dx\int \cos 3x \cos 3x dx = \int \frac{1 + \cos 6x}{2} dx∫cos3xcos3xdx=∫21+cos6x​dx

STEP 5

نقسم التكامل إلى تكاملين منفصلين.∫1+cos⁡6x2dx=12∫1dx+12∫cos⁡6xdx\int \frac{1 + \cos 6x}{2} dx = \frac{1}{2} \int 1 dx + \frac{1}{2} \int \cos 6x dx∫21+cos6x​dx=21​∫1dx+21​∫cos6xdx

STEP 6

نحسب التكامل الأول.12∫1dx=12x\frac{1}{2} \int 1 dx = \frac{1}{2} x21​∫1dx=21​x

STEP 7

نحسب التكامل الثاني. نستخدم قاعدة التكامل للجيب التمام.∫cos⁡axdx=1asin⁡ax+C\int \cos ax dx = \frac{1}{a} \sin ax + C∫cosaxdx=a1​sinax+C

STEP 8

نطبق القاعدة على التكامل الثاني بتعويض aaa بـ666.12∫cos⁡6xdx=12⋅16sin⁡6x+C\frac{1}{2} \int \cos 6x dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} \sin 6x + C21​∫cos6xdx=21​⋅61​sin6x+C

STEP 9

نبسط التعبير.12⋅16sin⁡6x+C=112sin⁡6x+C\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} \sin 6x + C = \frac{1}{12} \sin 6x + C21​⋅61​sin6x+C=121​sin6x+C

STEP 10

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

Find the indefinite integral of $\cos^2 3x$ .

الافتراضات
1. نحتاج إلى حساب التكامل الغير محدود للدالة $\cos 3x \cos 3x$ بالنسبة لـ $x$ .
2. سنستخدم هويات مثلثية لتبسيط التعبير قبل التكامل.

نبدأ بتبسيط التعبير باستخدام هوية مثلثية. هوية الجيب التمام للزاوية المزدوجة تنص على أن:
$\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$

نطبق الهوية على التعبير $\cos 3x \cos 3x$ بتعويض $\theta$ بـ $3x$ .
$\cos 3x \cos 3x = \cos^2 3x = \frac{1 + \cos 6x}{2}$

الآن نحتاج إلى حساب التكامل للتعبير المبسط.
$\int \cos 3x \cos 3x dx = \int \frac{1 + \cos 6x}{2} dx$

نقسم التكامل إلى تكاملين منفصلين.
$\int \frac{1 + \cos 6x}{2} dx = \frac{1}{2} \int 1 dx + \frac{1}{2} \int \cos 6x dx$

نحسب التكامل الأول.
$\frac{1}{2} \int 1 dx = \frac{1}{2} x$

نحسب التكامل الثاني. نستخدم قاعدة التكامل للجيب التمام.
$\int \cos ax dx = \frac{1}{a} \sin ax + C$

نطبق القاعدة على التكامل الثاني بتعويض $a$ بـ $6$ .
$\frac{1}{2} \int \cos 6x dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} \sin 6x + C$

نبسط التعبير.
$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} \sin 6x + C = \frac{1}{12} \sin 6x + C$