Solved on Feb 02, 2024

If a set of 3 vectors $\{v_1, v_2, v_3\}$ spans $\mathbb{R}^3$ , then it forms a basis for $\mathbb{R}^3$ . True or False?

STEP 1

الافتراضات
1. الطقم $\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\}$ يمتد إلى $R^{3}$ .
2. يجب أن يكون للقاعدة للفضاء الشعاعي $R^{3}$ ثلاثة متجهات مستقلة خطياً.

STEP 2

لكي يشكل الطقم $\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\}$ قاعدة للفضاء الشعاعي $R^{3}$ ، يجب أن يكون الطقم مستقل خطياً ويمتد إلى كامل الفضاء $R^{3}$ .

STEP 3

الامتداد إلى $R^{3}$ يعني أنه يمكن التعبير عن أي متجه في $R^{3}$ كمجموع خطي للمتجهات $v_{1}, v_{2}, v_{3}$ .

STEP 4

الاستقلال الخطي يعني أن المعادلة $c_{1}v_{1} + c_{2}v_{2} + c_{3}v_{3} = 0$ لها حل وحيد هو $c_{1} = c_{2} = c_{3} = 0$ .

STEP 5

بما أن الطقم $\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\}$ يمتد إلى $R^{3}$ ، فهذا يعني أنه يمكن توليد كل متجه في $R^{3}$ من هذه المتجهات.

STEP 6

إذا كان الطقم $\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\}$ لا يشكل مجموعة مستقلة خطياً، فإن واحداً أو أكثر من المتجهات يمكن التعبير عنه كمجموع خطي للآخرين، وبالتالي لا يمكن أن يشكل قاعدة.

STEP 7

لكن بما أن الطقم يمتد إلى $R^{3}$ والفضاء $R^{3}$ له البعد 3، فإن هذا يعني أن الطقم يجب أن يكون مستقل خطياً أيضاً، لأنه لا يمكن لأقل من ثلاثة متجهات مستقلة خطياً أن تمتد إلى $R^{3}$ .

STEP 8

بناءً على ما سبق، نستنتج أن الطقم $\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\}$ يشكل قاعدة للفضاء الشعاعي $R^{3}$ لأنه يمتد إلى الفضاء ويجب أن يكون مستقل خطياً.
الجواب: صحيح (True).

Was this helpful?

If a set of 3 vectors $\{v_1, v_2, v_3\}$ spans $\mathbb{R}^3$ , then it forms a basis for $\mathbb{R}^3$ . True or False?

STEP 1

الافتراضات
1. الطقم $\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\}$ يمتد إلى $R^{3}$ .
2. يجب أن يكون للقاعدة للفضاء الشعاعي $R^{3}$ ثلاثة متجهات مستقلة خطياً.

STEP 2

لكي يشكل الطقم $\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\}$ قاعدة للفضاء الشعاعي $R^{3}$ ، يجب أن يكون الطقم مستقل خطياً ويمتد إلى كامل الفضاء $R^{3}$ .

STEP 3

الامتداد إلى $R^{3}$ يعني أنه يمكن التعبير عن أي متجه في $R^{3}$ كمجموع خطي للمتجهات $v_{1}, v_{2}, v_{3}$ .

STEP 4

الاستقلال الخطي يعني أن المعادلة $c_{1}v_{1} + c_{2}v_{2} + c_{3}v_{3} = 0$ لها حل وحيد هو $c_{1} = c_{2} = c_{3} = 0$ .

STEP 5

بما أن الطقم $\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\}$ يمتد إلى $R^{3}$ ، فهذا يعني أنه يمكن توليد كل متجه في $R^{3}$ من هذه المتجهات.

STEP 6

إذا كان الطقم $\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\}$ لا يشكل مجموعة مستقلة خطياً، فإن واحداً أو أكثر من المتجهات يمكن التعبير عنه كمجموع خطي للآخرين، وبالتالي لا يمكن أن يشكل قاعدة.

STEP 7

STEP 8

بناءً على ما سبق، نستنتج أن الطقم $\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\}$ يشكل قاعدة للفضاء الشعاعي $R^{3}$ لأنه يمتد إلى الفضاء ويجب أن يكون مستقل خطياً.
الجواب: صحيح (True).

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

If a set of 3 vectors {v1,v2,v3}\{v_1, v_2, v_3\}{v1​,v2​,v3​} spans R3\mathbb{R}^3R3, then it forms a basis for R3\mathbb{R}^3R3. True or False?

STEP 1

الافتراضات1. الطقم {v1,v2,v3}\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\}{v1​,v2​,v3​} يمتد إلى R3R^{3}R3.2. يجب أن يكون للقاعدة للفضاء الشعاعي R3R^{3}R3 ثلاثة متجهات مستقلة خطياً.

STEP 2

لكي يشكل الطقم {v1,v2,v3}\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\}{v1​,v2​,v3​} قاعدة للفضاء الشعاعي R3R^{3}R3، يجب أن يكون الطقم مستقل خطياً ويمتد إلى كامل الفضاء R3R^{3}R3.

STEP 3

الامتداد إلى R3R^{3}R3 يعني أنه يمكن التعبير عن أي متجه في R3R^{3}R3 كمجموع خطي للمتجهات v1,v2,v3v_{1}, v_{2}, v_{3}v1​,v2​,v3​.

STEP 4

الاستقلال الخطي يعني أن المعادلة c1v1+c2v2+c3v3=0c_{1}v_{1} + c_{2}v_{2} + c_{3}v_{3} = 0c1​v1​+c2​v2​+c3​v3​=0 لها حل وحيد هو c1=c2=c3=0c_{1} = c_{2} = c_{3} = 0c1​=c2​=c3​=0.

STEP 5

بما أن الطقم {v1,v2,v3}\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\}{v1​,v2​,v3​} يمتد إلى R3R^{3}R3، فهذا يعني أنه يمكن توليد كل متجه في R3R^{3}R3 من هذه المتجهات.

STEP 6

STEP 7

STEP 8

بناءً على ما سبق، نستنتج أن الطقم {v1,v2,v3}\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\}{v1​,v2​,v3​} يشكل قاعدة للفضاء الشعاعي R3R^{3}R3 لأنه يمتد إلى الفضاء ويجب أن يكون مستقل خطياً.الجواب: صحيح (True).

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

If a set of 3 vectors $\{v_1, v_2, v_3\}$ spans $\mathbb{R}^3$ , then it forms a basis for $\mathbb{R}^3$ . True or False?

الافتراضات
1. الطقم $\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\}$ يمتد إلى $R^{3}$ .
2. يجب أن يكون للقاعدة للفضاء الشعاعي $R^{3}$ ثلاثة متجهات مستقلة خطياً.

لكي يشكل الطقم $\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\}$ قاعدة للفضاء الشعاعي $R^{3}$ ، يجب أن يكون الطقم مستقل خطياً ويمتد إلى كامل الفضاء $R^{3}$ .

الامتداد إلى $R^{3}$ يعني أنه يمكن التعبير عن أي متجه في $R^{3}$ كمجموع خطي للمتجهات $v_{1}, v_{2}, v_{3}$ .

الاستقلال الخطي يعني أن المعادلة $c_{1}v_{1} + c_{2}v_{2} + c_{3}v_{3} = 0$ لها حل وحيد هو $c_{1} = c_{2} = c_{3} = 0$ .

بما أن الطقم $\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\}$ يمتد إلى $R^{3}$ ، فهذا يعني أنه يمكن توليد كل متجه في $R^{3}$ من هذه المتجهات.

بناءً على ما سبق، نستنتج أن الطقم $\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\}$ يشكل قاعدة للفضاء الشعاعي $R^{3}$ لأنه يمتد إلى الفضاء ويجب أن يكون مستقل خطياً.
الجواب: صحيح (True).