Solved on Jan 25, 2024

Find the absolute value of $3A$ if $A$ is a $3 \times 3$ matrix and $\frac{8}{9} = |\!2A^T\!|$ .

STEP 1

الافتراضات
1. $A$ هي مصفوفة مربعة من الرتبة 3.
2. $\frac{8}{9} = |2 A^{\top}|$ حيث $A^{\top}$ تمثل المصفوفة المُرتبة لـ $A$ .
3. نريد حساب $|3 A|$ .

STEP 2

لنبدأ بفهم خصائص محددات المصفوفات. إذا ضربنا كل عنصر في مصفوفة مربعة بعدد $k$ ، فإن المحدد الجديد يكون مضروبًا في $k^n$ حيث $n$ هو رتبة المصفوفة.
$|kA| = k^n |A|$

STEP 3

نعلم أن $A$ مصفوفة من الرتبة 3، لذا إذا ضربنا كل عنصر في $A$ بالعدد 2، فإن المحدد الجديد يكون مضروبًا في $2^3$ .
$|2A| = 2^3 |A|$

STEP 4

نستخدم خاصية أن محدد المصفوفة المُرتبة يساوي محدد المصفوفة الأصلية.
$|A^{\top}| = |A|$

STEP 5

نعوض عن $|A^{\top}|$ في المعادلة المُعطاة.
$\frac{8}{9} = |2 A^{\top}| = |2A|$

STEP 6

نعوض عن $|2A|$ باستخدام العلاقة التي وجدناها في الخطوة 3.
$\frac{8}{9} = 2^3 |A|$

STEP 7

نحسب قيمة $|A|$ بتقسيم كلا الطرفين على $2^3$ .
$|A| = \frac{8}{9 \cdot 2^3}$

STEP 8

نحسب القيمة العددية للمحدد $|A|$ .
$|A| = \frac{8}{9 \cdot 8} = \frac{1}{9}$

STEP 9

الآن نريد حساب $|3A|$ . نستخدم الخاصية التي ذكرناها في الخطوة 2.
$|3A| = 3^3 |A|$

STEP 10

نعوض عن $|A|$ بالقيمة التي حصلنا عليها في الخطوة 8.
$|3A| = 3^3 \cdot \frac{1}{9}$

STEP 11

نحسب القيمة العددية لـ $|3A|$ .
$|3A| = 27 \cdot \frac{1}{9} = 3$
إذًا، $|3 A| = 3$ .

Was this helpful?

Find the absolute value of $3A$ if $A$ is a $3 \times 3$ matrix and $\frac{8}{9} = |\!2A^T\!|$ .

STEP 1

الافتراضات
1. $A$ هي مصفوفة مربعة من الرتبة 3.
2. $\frac{8}{9} = |2 A^{\top}|$ حيث $A^{\top}$ تمثل المصفوفة المُرتبة لـ $A$ .
3. نريد حساب $|3 A|$ .

STEP 2

لنبدأ بفهم خصائص محددات المصفوفات. إذا ضربنا كل عنصر في مصفوفة مربعة بعدد $k$ ، فإن المحدد الجديد يكون مضروبًا في $k^n$ حيث $n$ هو رتبة المصفوفة.
$|kA| = k^n |A|$

STEP 3

نعلم أن $A$ مصفوفة من الرتبة 3، لذا إذا ضربنا كل عنصر في $A$ بالعدد 2، فإن المحدد الجديد يكون مضروبًا في $2^3$ .
$|2A| = 2^3 |A|$

STEP 4

نستخدم خاصية أن محدد المصفوفة المُرتبة يساوي محدد المصفوفة الأصلية.
$|A^{\top}| = |A|$

STEP 5

نعوض عن $|A^{\top}|$ في المعادلة المُعطاة.
$\frac{8}{9} = |2 A^{\top}| = |2A|$

STEP 6

نعوض عن $|2A|$ باستخدام العلاقة التي وجدناها في الخطوة 3.
$\frac{8}{9} = 2^3 |A|$

STEP 7

نحسب قيمة $|A|$ بتقسيم كلا الطرفين على $2^3$ .
$|A| = \frac{8}{9 \cdot 2^3}$

STEP 8

نحسب القيمة العددية للمحدد $|A|$ .
$|A| = \frac{8}{9 \cdot 8} = \frac{1}{9}$

STEP 9

الآن نريد حساب $|3A|$ . نستخدم الخاصية التي ذكرناها في الخطوة 2.
$|3A| = 3^3 |A|$

STEP 10

نعوض عن $|A|$ بالقيمة التي حصلنا عليها في الخطوة 8.
$|3A| = 3^3 \cdot \frac{1}{9}$

STEP 11

نحسب القيمة العددية لـ $|3A|$ .
$|3A| = 27 \cdot \frac{1}{9} = 3$
إذًا، $|3 A| = 3$ .

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

Find the absolute value of 3A3A3A if AAA is a 3×33 \times 33×3 matrix and 89=∣ ⁣2AT ⁣∣\frac{8}{9} = |\!2A^T\!|98​=∣2AT∣.

STEP 1

الافتراضات1. A A A هي مصفوفة مربعة من الرتبة 3.2. 89=∣2A⊤∣ \frac{8}{9} = |2 A^{\top}| 98​=∣2A⊤∣ حيث A⊤ A^{\top} A⊤ تمثل المصفوفة المُرتبة لـ A A A.3. نريد حساب ∣3A∣ |3 A| ∣3A∣.

STEP 2

STEP 3

نعلم أن A A A مصفوفة من الرتبة 3، لذا إذا ضربنا كل عنصر في A A A بالعدد 2، فإن المحدد الجديد يكون مضروبًا في 23 2^3 23.∣2A∣=23∣A∣ |2A| = 2^3 |A| ∣2A∣=23∣A∣

STEP 4

نستخدم خاصية أن محدد المصفوفة المُرتبة يساوي محدد المصفوفة الأصلية.∣A⊤∣=∣A∣ |A^{\top}| = |A| ∣A⊤∣=∣A∣

STEP 5

نعوض عن ∣A⊤∣ |A^{\top}| ∣A⊤∣ في المعادلة المُعطاة.89=∣2A⊤∣=∣2A∣ \frac{8}{9} = |2 A^{\top}| = |2A| 98​=∣2A⊤∣=∣2A∣

STEP 6

نعوض عن ∣2A∣ |2A| ∣2A∣ باستخدام العلاقة التي وجدناها في الخطوة 3.89=23∣A∣ \frac{8}{9} = 2^3 |A| 98​=23∣A∣

STEP 7

نحسب قيمة ∣A∣ |A| ∣A∣ بتقسيم كلا الطرفين على 23 2^3 23.∣A∣=89⋅23 |A| = \frac{8}{9 \cdot 2^3} ∣A∣=9⋅238​

STEP 8

نحسب القيمة العددية للمحدد ∣A∣ |A| ∣A∣.∣A∣=89⋅8=19 |A| = \frac{8}{9 \cdot 8} = \frac{1}{9} ∣A∣=9⋅88​=91​

STEP 9

الآن نريد حساب ∣3A∣ |3A| ∣3A∣. نستخدم الخاصية التي ذكرناها في الخطوة 2.∣3A∣=33∣A∣ |3A| = 3^3 |A| ∣3A∣=33∣A∣

STEP 10

نعوض عن ∣A∣ |A| ∣A∣ بالقيمة التي حصلنا عليها في الخطوة 8.∣3A∣=33⋅19 |3A| = 3^3 \cdot \frac{1}{9} ∣3A∣=33⋅91​

STEP 11

نحسب القيمة العددية لـ ∣3A∣ |3A| ∣3A∣.∣3A∣=27⋅19=3 |3A| = 27 \cdot \frac{1}{9} = 3 ∣3A∣=27⋅91​=3إذًا، ∣3A∣=3 |3 A| = 3 ∣3A∣=3.

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

Find the absolute value of $3A$ if $A$ is a $3 \times 3$ matrix and $\frac{8}{9} = |\!2A^T\!|$ .

الافتراضات
1. $A$ هي مصفوفة مربعة من الرتبة 3.
2. $\frac{8}{9} = |2 A^{\top}|$ حيث $A^{\top}$ تمثل المصفوفة المُرتبة لـ $A$ .
3. نريد حساب $|3 A|$ .

نعلم أن $A$ مصفوفة من الرتبة 3، لذا إذا ضربنا كل عنصر في $A$ بالعدد 2، فإن المحدد الجديد يكون مضروبًا في $2^3$ .
$|2A| = 2^3 |A|$

نستخدم خاصية أن محدد المصفوفة المُرتبة يساوي محدد المصفوفة الأصلية.
$|A^{\top}| = |A|$

نعوض عن $|A^{\top}|$ في المعادلة المُعطاة.
$\frac{8}{9} = |2 A^{\top}| = |2A|$

نعوض عن $|2A|$ باستخدام العلاقة التي وجدناها في الخطوة 3.
$\frac{8}{9} = 2^3 |A|$

نحسب قيمة $|A|$ بتقسيم كلا الطرفين على $2^3$ .
$|A| = \frac{8}{9 \cdot 2^3}$

نحسب القيمة العددية للمحدد $|A|$ .
$|A| = \frac{8}{9 \cdot 8} = \frac{1}{9}$

الآن نريد حساب $|3A|$ . نستخدم الخاصية التي ذكرناها في الخطوة 2.
$|3A| = 3^3 |A|$

نعوض عن $|A|$ بالقيمة التي حصلنا عليها في الخطوة 8.
$|3A| = 3^3 \cdot \frac{1}{9}$

نحسب القيمة العددية لـ $|3A|$ .
$|3A| = 27 \cdot \frac{1}{9} = 3$
إذًا، $|3 A| = 3$ .