Solved on Feb 14, 2024

Hani maximizes utility with goods $X$ and $Y$ given prices $\$ 5$ and $\$ 8$ and income $\$ 120$ . What are the optimal units of $X$ and $Y$ ?

STEP 1

الافتراضات
1. دالة المنفعة هي $U(X, Y) = 10X + 5Y$
2. سعر السلعة $X$ هو $\$5$
3. سعر السلعة $Y$ هو $\$8$
4. الدخل الكلي لهاني هو $\$120$
5. هاني يرغب في تعظيم منفعته

STEP 2

لتعظيم المنفعة، يجب على هاني توزيع دخله بين السلعتين $X$ و $Y$ بطريقة تجعل النسبة الهامشية للتحويل بين السلعتين مساوية لنسبة أسعارهما.
$MRS_{XY} = \frac{MU_X}{MU_Y} = \frac{P_X}{P_Y}$
حيث $MRS_{XY}$ هي النسبة الهامشية للتحويل، $MU_X$ و $MU_Y$ هما المنفعة الهامشية للسلعتين $X$ و $Y$ على التوالي، و $P_X$ و $P_Y$ هما أسعار السلعتين $X$ و $Y$ .

STEP 3

نحسب المنفعة الهامشية لكل من السلعتين $X$ و $Y$ من دالة المنفعة.
$MU_X = \frac{\partial U}{\partial X} = 10$ $MU_Y = \frac{\partial U}{\partial Y} = 5$

STEP 4

نطبق النسبة الهامشية للتحويل بين السلعتين.
$\frac{MU_X}{MU_Y} = \frac{P_X}{P_Y}$
$\frac{10}{5} = \frac{5}{8}$

STEP 5

نلاحظ أن النسبة الهامشية للتحويل لا تساوي نسبة الأسعار، وهذا يعني أنه لا يمكن تحقيق أقصى منفعة بتوزيع الدخل بين السلعتين. لذلك، يجب على هاني إما أن يستهلك السلعة $X$ فقط أو السلعة $Y$ فقط لتعظيم منفعته.

STEP 6

نحسب الكمية القصوى التي يمكن لهاني استهلاكها من السلعة $X$ فقط باستخدام كامل دخله.
$X_{max} = \frac{Income}{P_X}$
$X_{max} = \frac{120}{5}$

STEP 7

نحسب الكمية القصوى للسلعة $X$ .
$X_{max} = \frac{120}{5} = 24$

STEP 8

نحسب الكمية القصوى التي يمكن لهاني استهلاكها من السلعة $Y$ فقط باستخدام كامل دخله.
$Y_{max} = \frac{Income}{P_Y}$
$Y_{max} = \frac{120}{8}$

STEP 9

نحسب الكمية القصوى للسلعة $Y$ .
$Y_{max} = \frac{120}{8} = 15$

STEP 10

نحسب المنفعة الكلية في حال استهلاك الكمية القصوى من السلعة $X$ فقط.
$U_{X_{max}} = 10 \cdot X_{max} + 5 \cdot 0$
$U_{X_{max}} = 10 \cdot 24 + 5 \cdot 0$

STEP 11

نحسب المنفعة الكلية للسلعة $X$ .
$U_{X_{max}} = 10 \cdot 24 = 240$

STEP 12

نحسب المنفعة الكلية في حال استهلاك الكمية القصوى من السلعة $Y$ فقط.
$U_{Y_{max}} = 10 \cdot 0 + 5 \cdot Y_{max}$
$U_{Y_{max}} = 5 \cdot 15$

STEP 13

نحسب المنفعة الكلية للسلعة $Y$ .
$U_{Y_{max}} = 5 \cdot 15 = 75$

STEP 14

نقارن المنفعة الكلية لكل من السلعتين $X$ و $Y$ لتحديد أيهما يعطي منفعة أكبر.
$U_{X_{max}} > U_{Y_{max}}$
$240 > 75$

STEP 15

بما أن المنفعة الكلية للسلعة $X$ أكبر من المنفعة الكلية للسلعة $Y$ ، فإن هاني سيستهلك الكمية القصوى من السلعة $X$ فقط لتعظيم منفعته.
الجواب: هاني يستهلك 24 وحدة من السلعة $X$ و 0 وحدات من السلعة $Y$ لتعظيم منفعته.

Was this helpful?

Hani maximizes utility with goods $X$ and $Y$ given prices $\$ 5$ and $\$ 8$ and income $\$ 120$ . What are the optimal units of $X$ and $Y$ ?

STEP 1

الافتراضات
1. دالة المنفعة هي $U(X, Y) = 10X + 5Y$
2. سعر السلعة $X$ هو $\$5$
3. سعر السلعة $Y$ هو $\$8$
4. الدخل الكلي لهاني هو $\$120$
5. هاني يرغب في تعظيم منفعته

STEP 2

STEP 3

نحسب المنفعة الهامشية لكل من السلعتين $X$ و $Y$ من دالة المنفعة.
$MU_X = \frac{\partial U}{\partial X} = 10$ $MU_Y = \frac{\partial U}{\partial Y} = 5$

STEP 4

نطبق النسبة الهامشية للتحويل بين السلعتين.
$\frac{MU_X}{MU_Y} = \frac{P_X}{P_Y}$
$\frac{10}{5} = \frac{5}{8}$

STEP 5

STEP 6

نحسب الكمية القصوى التي يمكن لهاني استهلاكها من السلعة $X$ فقط باستخدام كامل دخله.
$X_{max} = \frac{Income}{P_X}$
$X_{max} = \frac{120}{5}$

STEP 7

نحسب الكمية القصوى للسلعة $X$ .
$X_{max} = \frac{120}{5} = 24$

STEP 8

نحسب الكمية القصوى التي يمكن لهاني استهلاكها من السلعة $Y$ فقط باستخدام كامل دخله.
$Y_{max} = \frac{Income}{P_Y}$
$Y_{max} = \frac{120}{8}$

STEP 9

نحسب الكمية القصوى للسلعة $Y$ .
$Y_{max} = \frac{120}{8} = 15$

STEP 10

نحسب المنفعة الكلية في حال استهلاك الكمية القصوى من السلعة $X$ فقط.
$U_{X_{max}} = 10 \cdot X_{max} + 5 \cdot 0$
$U_{X_{max}} = 10 \cdot 24 + 5 \cdot 0$

STEP 11

نحسب المنفعة الكلية للسلعة $X$ .
$U_{X_{max}} = 10 \cdot 24 = 240$

STEP 12

نحسب المنفعة الكلية في حال استهلاك الكمية القصوى من السلعة $Y$ فقط.
$U_{Y_{max}} = 10 \cdot 0 + 5 \cdot Y_{max}$
$U_{Y_{max}} = 5 \cdot 15$

STEP 13

نحسب المنفعة الكلية للسلعة $Y$ .
$U_{Y_{max}} = 5 \cdot 15 = 75$

STEP 14

نقارن المنفعة الكلية لكل من السلعتين $X$ و $Y$ لتحديد أيهما يعطي منفعة أكبر.
$U_{X_{max}} > U_{Y_{max}}$
$240 > 75$

STEP 15

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

Hani maximizes utility with goods XXX and YYY given prices $5\$ 5$5 and $8\$ 8$8 and income $120\$ 120$120. What are the optimal units of XXX and YYY?

STEP 1

الافتراضات1. دالة المنفعة هي U(X,Y)=10X+5Y U(X, Y) = 10X + 5Y U(X,Y)=10X+5Y2. سعر السلعة X X X هو $5 \$5 $53. سعر السلعة Y Y Y هو $8 \$8 $84. الدخل الكلي لهاني هو $120 \$120 $1205. هاني يرغب في تعظيم منفعته

STEP 2

STEP 3

نحسب المنفعة الهامشية لكل من السلعتين X X X و Y Y Y من دالة المنفعة.MUX=∂U∂X=10MU_X = \frac{\partial U}{\partial X} = 10MUX​=∂X∂U​=10 MUY=∂U∂Y=5MU_Y = \frac{\partial U}{\partial Y} = 5MUY​=∂Y∂U​=5

STEP 4

نطبق النسبة الهامشية للتحويل بين السلعتين.MUXMUY=PXPY\frac{MU_X}{MU_Y} = \frac{P_X}{P_Y}MUY​MUX​​=PY​PX​​105=58\frac{10}{5} = \frac{5}{8}510​=85​

STEP 5

STEP 6

نحسب الكمية القصوى التي يمكن لهاني استهلاكها من السلعة X X X فقط باستخدام كامل دخله.Xmax=IncomePXX_{max} = \frac{Income}{P_X}Xmax​=PX​Income​Xmax=1205X_{max} = \frac{120}{5}Xmax​=5120​

STEP 7

نحسب الكمية القصوى للسلعة X X X.Xmax=1205=24X_{max} = \frac{120}{5} = 24Xmax​=5120​=24

STEP 8

نحسب الكمية القصوى التي يمكن لهاني استهلاكها من السلعة Y Y Y فقط باستخدام كامل دخله.Ymax=IncomePYY_{max} = \frac{Income}{P_Y}Ymax​=PY​Income​Ymax=1208Y_{max} = \frac{120}{8}Ymax​=8120​

STEP 9

نحسب الكمية القصوى للسلعة Y Y Y.Ymax=1208=15Y_{max} = \frac{120}{8} = 15Ymax​=8120​=15

STEP 10

نحسب المنفعة الكلية في حال استهلاك الكمية القصوى من السلعة X X X فقط.UXmax=10⋅Xmax+5⋅0U_{X_{max}} = 10 \cdot X_{max} + 5 \cdot 0UXmax​​=10⋅Xmax​+5⋅0UXmax=10⋅24+5⋅0U_{X_{max}} = 10 \cdot 24 + 5 \cdot 0UXmax​​=10⋅24+5⋅0

STEP 11

نحسب المنفعة الكلية للسلعة X X X.UXmax=10⋅24=240U_{X_{max}} = 10 \cdot 24 = 240UXmax​​=10⋅24=240

STEP 12

نحسب المنفعة الكلية في حال استهلاك الكمية القصوى من السلعة Y Y Y فقط.UYmax=10⋅0+5⋅YmaxU_{Y_{max}} = 10 \cdot 0 + 5 \cdot Y_{max}UYmax​​=10⋅0+5⋅Ymax​UYmax=5⋅15U_{Y_{max}} = 5 \cdot 15UYmax​​=5⋅15

STEP 13

نحسب المنفعة الكلية للسلعة Y Y Y.UYmax=5⋅15=75U_{Y_{max}} = 5 \cdot 15 = 75UYmax​​=5⋅15=75

STEP 14

نقارن المنفعة الكلية لكل من السلعتين X X X و Y Y Y لتحديد أيهما يعطي منفعة أكبر.UXmax>UYmaxU_{X_{max}} > U_{Y_{max}}UXmax​​>UYmax​​240>75240 > 75240>75

STEP 15

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

Hani maximizes utility with goods $X$ and $Y$ given prices $\$ 5$ and $\$ 8$ and income $\$ 120$ . What are the optimal units of $X$ and $Y$ ?

الافتراضات
1. دالة المنفعة هي $U(X, Y) = 10X + 5Y$
2. سعر السلعة $X$ هو $\$5$
3. سعر السلعة $Y$ هو $\$8$
4. الدخل الكلي لهاني هو $\$120$
5. هاني يرغب في تعظيم منفعته

نحسب المنفعة الهامشية لكل من السلعتين $X$ و $Y$ من دالة المنفعة.
$MU_X = \frac{\partial U}{\partial X} = 10$ $MU_Y = \frac{\partial U}{\partial Y} = 5$

نطبق النسبة الهامشية للتحويل بين السلعتين.
$\frac{MU_X}{MU_Y} = \frac{P_X}{P_Y}$
$\frac{10}{5} = \frac{5}{8}$

نحسب الكمية القصوى التي يمكن لهاني استهلاكها من السلعة $X$ فقط باستخدام كامل دخله.
$X_{max} = \frac{Income}{P_X}$
$X_{max} = \frac{120}{5}$

نحسب الكمية القصوى للسلعة $X$ .
$X_{max} = \frac{120}{5} = 24$

نحسب الكمية القصوى التي يمكن لهاني استهلاكها من السلعة $Y$ فقط باستخدام كامل دخله.
$Y_{max} = \frac{Income}{P_Y}$
$Y_{max} = \frac{120}{8}$

نحسب الكمية القصوى للسلعة $Y$ .
$Y_{max} = \frac{120}{8} = 15$

نحسب المنفعة الكلية في حال استهلاك الكمية القصوى من السلعة $X$ فقط.
$U_{X_{max}} = 10 \cdot X_{max} + 5 \cdot 0$
$U_{X_{max}} = 10 \cdot 24 + 5 \cdot 0$

نحسب المنفعة الكلية للسلعة $X$ .
$U_{X_{max}} = 10 \cdot 24 = 240$

نحسب المنفعة الكلية في حال استهلاك الكمية القصوى من السلعة $Y$ فقط.
$U_{Y_{max}} = 10 \cdot 0 + 5 \cdot Y_{max}$
$U_{Y_{max}} = 5 \cdot 15$

نحسب المنفعة الكلية للسلعة $Y$ .
$U_{Y_{max}} = 5 \cdot 15 = 75$

نقارن المنفعة الكلية لكل من السلعتين $X$ و $Y$ لتحديد أيهما يعطي منفعة أكبر.
$U_{X_{max}} > U_{Y_{max}}$
$240 > 75$