Solved on Jan 25, 2024

Find the $x$ that satisfies the equation $\frac{1}{3x+5} \cdot 25^{4x-1} = \sqrt[8]{625}$ .

STEP 1

الافتراضات
1. المعادلة المطلوب حلها هي $\frac{1}{3 x+5} \cdot 25^{4 x-1}=\sqrt[8]{625}$ .
2. سنقوم بتبسيط كلا الطرفين قبل البدء بعملية الحل.
3. سنستخدم خصائص الأسس والجذور لتبسيط المعادلة.

STEP 2

أولاً، نبدأ بتبسيط الجذر الثامن للعدد 625.
$\sqrt[8]{625} = \sqrt[8]{25^2}$

STEP 3

نستخدم خاصية الأسس لتبسيط الجذر.
$\sqrt[8]{25^2} = 25^{\frac{2}{8}}$

STEP 4

نقوم بتبسيط الكسر $\frac{2}{8}$ .
$25^{\frac{2}{8}} = 25^{\frac{1}{4}}$

STEP 5

نعلم أن $25 = 5^2$ ، لذا نستطيع كتابة العبارة على النحو التالي:
$25^{\frac{1}{4}} = (5^2)^{\frac{1}{4}}$

STEP 6

نستخدم خاصية الأسس $(a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}$ لتبسيط العبارة.
$(5^2)^{\frac{1}{4}} = 5^{2 \cdot \frac{1}{4}}$

STEP 7

نقوم بضرب الأسس.
$5^{2 \cdot \frac{1}{4}} = 5^{\frac{1}{2}}$

STEP 8

الآن لدينا $5^{\frac{1}{2}}$ وهو يعادل الجذر التربيعي للعدد 5.
$5^{\frac{1}{2}} = \sqrt{5}$

STEP 9

الآن نعود للمعادلة الأصلية ونستبدل الجذر الثامن للعدد 625 بالتبسيط الذي حصلنا عليه.
$\frac{1}{3 x+5} \cdot 25^{4 x-1} = \sqrt{5}$

STEP 10

نلاحظ أن لدينا $25^{4 x-1}$ ونعلم أن $25 = 5^2$ ، لذا نستطيع كتابة العبارة على النحو التالي:
$25^{4 x-1} = (5^2)^{4 x-1}$

STEP 11

نستخدم خاصية الأسس $(a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}$ لتبسيط العبارة.
$(5^2)^{4 x-1} = 5^{2 \cdot (4 x-1)}$

STEP 12

نقوم بضرب الأسس.
$5^{2 \cdot (4 x-1)} = 5^{8 x-2}$

STEP 13

الآن نستبدل $25^{4 x-1}$ بالتبسيط الذي حصلنا عليه في المعادلة الأصلية.
$\frac{1}{3 x+5} \cdot 5^{8 x-2} = \sqrt{5}$

STEP 14

نلاحظ أن لدينا $\sqrt{5}$ على الجانب الأيمن من المعادلة والذي يمكن كتابته كـ $5^{\frac{1}{2}}$ .
$\frac{1}{3 x+5} \cdot 5^{8 x-2} = 5^{\frac{1}{2}}$

STEP 15

لكي نحل المعادلة، نحتاج إلى جعل الأسس متساوية على كلا الجانبين. لذلك، نضع العبارة $\frac{1}{3 x+5}$ تحت نفس الأس.
$5^{8 x-2} \cdot 5^{-\frac{1}{3 x+5}} = 5^{\frac{1}{2}}$

STEP 16

نستخدم خاصية الأسس $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}$ لجمع الأسس.
$5^{8 x-2-\frac{1}{3 x+5}} = 5^{\frac{1}{2}}$

STEP 17

لكي تكون المعادلة صحيحة، يجب أن تكون الأسس متساوية.
$8 x-2-\frac{1}{3 x+5} = \frac{1}{2}$

STEP 18

نقوم بضرب كلا الطرفين في $(3 x+5)$ للتخلص من المقام.
$(3 x+5)(8 x-2)-1 = \frac{1}{2}(3 x+5)$

STEP 19

نوزع العبارات على كلا الجانبين.
$24 x^2 + 40 x - 10 x - 10 - 1 = \frac{3 x}{2} + \frac{5}{2}$

STEP 20

نجمع الحدود المتشابهة.
$24 x^2 + 30 x - 11 = \frac{3 x}{2} + \frac{5}{2}$

STEP 21

نضرب كلا الطرفين في 2 للتخلص من الكسور.
$2(24 x^2 + 30 x - 11) = 3 x + 5$

STEP 22

نوزع العبارات على الجانب الأيسر.
$48 x^2 + 60 x - 22 = 3 x + 5$

STEP 23

ننقل كل الحدود إلى جانب واحد لنحصل على معادلة تربيعية.
$48 x^2 + 60 x - 3 x - 22 - 5 = 0$

STEP 24

نجمع الحدود المتشابهة.
$48 x^2 + 57 x - 27 = 0$

STEP 25

الآن لدينا معادلة تربيعية يمكن حلها إما عن طريق القانون العام أو عن طريق التحليل إلى عوامل إذا كان ذلك ممكناً.

STEP 26

نحاول تحليل المعادلة إلى عوامل. إذا لم يكن ذلك ممكناً، نستخدم القانون العام للمعادلات التربيعية.
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
حيث $a = 48$ , $b = 57$ , و $c = -27$ .

STEP 27

نحسب قيمة المميز ( $\Delta$ ).
$\Delta = b^2 - 4ac$ $\Delta = 57^2 - 4(48)(-27)$

STEP 28

نحسب قيمة $\Delta$ .
$\Delta = 3249 + 5184$ $\Delta = 8433$

STEP 29

نحسب قيمتي $x$ .
$x = \frac{-57 \pm \sqrt{8433}}{96}$

STEP 30

نحصل على قيمتين لـ $x$ ، ولكن يجب التحقق من صحتهما في المعادلة الأصلية لأنه قد تكون هناك قيمة غير مقبولة نتيجة للقسمة على صفر.
يمكن استخدام الآلة الحاسبة لإيجاد القيم التقريبية لـ $x$ ، ومن ثم التحقق من صحتها في المعادلة الأصلية.

Was this helpful?

Find the xxx that satisfies the equation 13x+5⋅254x−1=6258\frac{1}{3x+5} \cdot 25^{4x-1} = \sqrt[8]{625}3x+51​⋅254x−1=8625​.

STEP 1

STEP 2

أولاً، نبدأ بتبسيط الجذر الثامن للعدد 625.6258=2528\sqrt[8]{625} = \sqrt[8]{25^2}8625​=8252​

STEP 3

نستخدم خاصية الأسس لتبسيط الجذر.2528=2528\sqrt[8]{25^2} = 25^{\frac{2}{8}}8252​=2582​

STEP 4

نقوم بتبسيط الكسر 28\frac{2}{8}82​.2528=251425^{\frac{2}{8}} = 25^{\frac{1}{4}}2582​=2541​

STEP 5

نعلم أن 25=5225 = 5^225=52، لذا نستطيع كتابة العبارة على النحو التالي:2514=(52)1425^{\frac{1}{4}} = (5^2)^{\frac{1}{4}}2541​=(52)41​

STEP 6

نستخدم خاصية الأسس (am)n=am⋅n(a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}(am)n=am⋅n لتبسيط العبارة.(52)14=52⋅14 (5^2)^{\frac{1}{4}} = 5^{2 \cdot \frac{1}{4}}(52)41​=52⋅41​

STEP 7

نقوم بضرب الأسس.52⋅14=5125^{2 \cdot \frac{1}{4}} = 5^{\frac{1}{2}}52⋅41​=521​

STEP 8

الآن لدينا 5125^{\frac{1}{2}}521​ وهو يعادل الجذر التربيعي للعدد 5.512=55^{\frac{1}{2}} = \sqrt{5}521​=5​

STEP 9

الآن نعود للمعادلة الأصلية ونستبدل الجذر الثامن للعدد 625 بالتبسيط الذي حصلنا عليه.13x+5⋅254x−1=5\frac{1}{3 x+5} \cdot 25^{4 x-1} = \sqrt{5}3x+51​⋅254x−1=5​

STEP 10

نلاحظ أن لدينا 254x−125^{4 x-1}254x−1 ونعلم أن 25=5225 = 5^225=52، لذا نستطيع كتابة العبارة على النحو التالي:254x−1=(52)4x−125^{4 x-1} = (5^2)^{4 x-1}254x−1=(52)4x−1

STEP 11

نستخدم خاصية الأسس (am)n=am⋅n(a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}(am)n=am⋅n لتبسيط العبارة.(52)4x−1=52⋅(4x−1)(5^2)^{4 x-1} = 5^{2 \cdot (4 x-1)}(52)4x−1=52⋅(4x−1)

STEP 12

نقوم بضرب الأسس.52⋅(4x−1)=58x−25^{2 \cdot (4 x-1)} = 5^{8 x-2}52⋅(4x−1)=58x−2

STEP 13

الآن نستبدل 254x−125^{4 x-1}254x−1 بالتبسيط الذي حصلنا عليه في المعادلة الأصلية.13x+5⋅58x−2=5\frac{1}{3 x+5} \cdot 5^{8 x-2} = \sqrt{5}3x+51​⋅58x−2=5​

STEP 14

نلاحظ أن لدينا 5\sqrt{5}5​ على الجانب الأيمن من المعادلة والذي يمكن كتابته كـ 5125^{\frac{1}{2}}521​.13x+5⋅58x−2=512\frac{1}{3 x+5} \cdot 5^{8 x-2} = 5^{\frac{1}{2}}3x+51​⋅58x−2=521​

STEP 15

STEP 16

نستخدم خاصية الأسس am⋅an=am+na^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}am⋅an=am+n لجمع الأسس.58x−2−13x+5=5125^{8 x-2-\frac{1}{3 x+5}} = 5^{\frac{1}{2}}58x−2−3x+51​=521​

STEP 17

لكي تكون المعادلة صحيحة، يجب أن تكون الأسس متساوية.8x−2−13x+5=128 x-2-\frac{1}{3 x+5} = \frac{1}{2}8x−2−3x+51​=21​

STEP 18

نقوم بضرب كلا الطرفين في (3x+5)(3 x+5)(3x+5) للتخلص من المقام.(3x+5)(8x−2)−1=12(3x+5)(3 x+5)(8 x-2)-1 = \frac{1}{2}(3 x+5)(3x+5)(8x−2)−1=21​(3x+5)

STEP 19

نوزع العبارات على كلا الجانبين.24x2+40x−10x−10−1=3x2+5224 x^2 + 40 x - 10 x - 10 - 1 = \frac{3 x}{2} + \frac{5}{2}24x2+40x−10x−10−1=23x​+25​

STEP 20

نجمع الحدود المتشابهة.24x2+30x−11=3x2+5224 x^2 + 30 x - 11 = \frac{3 x}{2} + \frac{5}{2}24x2+30x−11=23x​+25​

STEP 21

نضرب كلا الطرفين في 2 للتخلص من الكسور.2(24x2+30x−11)=3x+52(24 x^2 + 30 x - 11) = 3 x + 52(24x2+30x−11)=3x+5

STEP 22

نوزع العبارات على الجانب الأيسر.48x2+60x−22=3x+548 x^2 + 60 x - 22 = 3 x + 548x2+60x−22=3x+5

STEP 23

ننقل كل الحدود إلى جانب واحد لنحصل على معادلة تربيعية.48x2+60x−3x−22−5=048 x^2 + 60 x - 3 x - 22 - 5 = 048x2+60x−3x−22−5=0

STEP 24

نجمع الحدود المتشابهة.48x2+57x−27=048 x^2 + 57 x - 27 = 048x2+57x−27=0

STEP 25

الآن لدينا معادلة تربيعية يمكن حلها إما عن طريق القانون العام أو عن طريق التحليل إلى عوامل إذا كان ذلك ممكناً.

STEP 26

STEP 27

نحسب قيمة المميز (Δ\DeltaΔ).Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4acΔ=b2−4ac Δ=572−4(48)(−27)\Delta = 57^2 - 4(48)(-27)Δ=572−4(48)(−27)

STEP 28

نحسب قيمة Δ\DeltaΔ.Δ=3249+5184\Delta = 3249 + 5184Δ=3249+5184 Δ=8433\Delta = 8433Δ=8433

STEP 29

نحسب قيمتي xxx.x=−57±843396x = \frac{-57 \pm \sqrt{8433}}{96}x=96−57±8433​​

STEP 30

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

Find the $x$ that satisfies the equation $\frac{1}{3x+5} \cdot 25^{4x-1} = \sqrt[8]{625}$ .

أولاً، نبدأ بتبسيط الجذر الثامن للعدد 625.
$\sqrt[8]{625} = \sqrt[8]{25^2}$

نستخدم خاصية الأسس لتبسيط الجذر.
$\sqrt[8]{25^2} = 25^{\frac{2}{8}}$

نقوم بتبسيط الكسر $\frac{2}{8}$ .
$25^{\frac{2}{8}} = 25^{\frac{1}{4}}$

نعلم أن $25 = 5^2$ ، لذا نستطيع كتابة العبارة على النحو التالي:
$25^{\frac{1}{4}} = (5^2)^{\frac{1}{4}}$

نستخدم خاصية الأسس $(a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}$ لتبسيط العبارة.
$(5^2)^{\frac{1}{4}} = 5^{2 \cdot \frac{1}{4}}$

نقوم بضرب الأسس.
$5^{2 \cdot \frac{1}{4}} = 5^{\frac{1}{2}}$

الآن لدينا $5^{\frac{1}{2}}$ وهو يعادل الجذر التربيعي للعدد 5.
$5^{\frac{1}{2}} = \sqrt{5}$

الآن نعود للمعادلة الأصلية ونستبدل الجذر الثامن للعدد 625 بالتبسيط الذي حصلنا عليه.
$\frac{1}{3 x+5} \cdot 25^{4 x-1} = \sqrt{5}$

نلاحظ أن لدينا $25^{4 x-1}$ ونعلم أن $25 = 5^2$ ، لذا نستطيع كتابة العبارة على النحو التالي:
$25^{4 x-1} = (5^2)^{4 x-1}$

نستخدم خاصية الأسس $(a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}$ لتبسيط العبارة.
$(5^2)^{4 x-1} = 5^{2 \cdot (4 x-1)}$

نقوم بضرب الأسس.
$5^{2 \cdot (4 x-1)} = 5^{8 x-2}$

الآن نستبدل $25^{4 x-1}$ بالتبسيط الذي حصلنا عليه في المعادلة الأصلية.
$\frac{1}{3 x+5} \cdot 5^{8 x-2} = \sqrt{5}$

نلاحظ أن لدينا $\sqrt{5}$ على الجانب الأيمن من المعادلة والذي يمكن كتابته كـ $5^{\frac{1}{2}}$ .
$\frac{1}{3 x+5} \cdot 5^{8 x-2} = 5^{\frac{1}{2}}$

نستخدم خاصية الأسس $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}$ لجمع الأسس.
$5^{8 x-2-\frac{1}{3 x+5}} = 5^{\frac{1}{2}}$

لكي تكون المعادلة صحيحة، يجب أن تكون الأسس متساوية.
$8 x-2-\frac{1}{3 x+5} = \frac{1}{2}$

نقوم بضرب كلا الطرفين في $(3 x+5)$ للتخلص من المقام.
$(3 x+5)(8 x-2)-1 = \frac{1}{2}(3 x+5)$

نوزع العبارات على كلا الجانبين.
$24 x^2 + 40 x - 10 x - 10 - 1 = \frac{3 x}{2} + \frac{5}{2}$

نجمع الحدود المتشابهة.
$24 x^2 + 30 x - 11 = \frac{3 x}{2} + \frac{5}{2}$

نضرب كلا الطرفين في 2 للتخلص من الكسور.
$2(24 x^2 + 30 x - 11) = 3 x + 5$

نوزع العبارات على الجانب الأيسر.
$48 x^2 + 60 x - 22 = 3 x + 5$

ننقل كل الحدود إلى جانب واحد لنحصل على معادلة تربيعية.
$48 x^2 + 60 x - 3 x - 22 - 5 = 0$

نجمع الحدود المتشابهة.
$48 x^2 + 57 x - 27 = 0$

نحسب قيمة المميز ( $\Delta$ ).
$\Delta = b^2 - 4ac$ $\Delta = 57^2 - 4(48)(-27)$

نحسب قيمة $\Delta$ .
$\Delta = 3249 + 5184$ $\Delta = 8433$

نحسب قيمتي $x$ .
$x = \frac{-57 \pm \sqrt{8433}}{96}$