Fractions and Decimals

Discrete Mathematics

Differential Equations

Solved on Nov 25, 2023

Trouver la forme de la solution particulière $y_p$ d'une équation différentielle avec $r(x) = 4x e^{3x} \cos(2x)$ et solutions homogènes $y_h = C_1 e^{3x} + C_2 \cos(2x) + C_3 \sin(2x)$ .

STEP 1

Hypothèses1. L'équation différentielle est donnée par $y^{(n)}+a_{n-1} y^{(n-1)}+\cdots+a_{0} y=r(x)$ . La fonction $r(x)$ est donnée par $r(x)=4 x e^{3 x} \cos ( x)$ 3. Les solutions de l'équation homogène sont $y_{h}=\mathrm{C}_{1} e^{3 x}+$ $\mathrm{C}_{} \cos ( x)+\mathrm{C}_{3} \sin ( x)$ 4. Nous devons déterminer la forme de la solution particulière $y_{p}$

STEP 2

Pour déterminer la forme de la solution particulière $y_{p}$ , nous devons examiner la forme de la fonction $r(x)$ et la comparer avec la solution homogène $y_{h}$ .

STEP 3

La fonction $r(x)$ est une combinaison de $x e^{3x} \cos(2x)$ , ce qui est une multiplication de trois fonctions une fonction linéaire, une fonction exponentielle et une fonction cosinus.

STEP 4

La solution homogène $y_{h}$ contient déjà les termes $e^{3x}$ , $\cos(2x)$ et $\sin(2x)$ . Cela signifie que ces termes ne peuvent pas être utilisés tels quels dans la solution particulière $y_{p}$ , car ils sont déjà "pris" par la solution homogène.

STEP 5

Pour éviter la répétition des termes de la solution homogène dans la solution particulière, nous devons multiplier chaque terme de $r(x)$ par $x$ .

STEP 6

En appliquant cette règle, nous obtenons la forme de la solution particulière $y_{p}$ comme suit $y_{p}=x e^{3 x}(a \cos (2 x)+b \sin (2 x))$ C'est la seule forme qui respecte la règle que nous avons établie.

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