Solved on Feb 10, 2024

Find the inverse of the $2 \times 2$ matrix $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}$ .

STEP 1

الافتراضات
1. $A$ هي مصفوفة مربعة من الدرجة الثانية.
2. $A^{-1}$ هي المصفوفة العكسية لمصفوفة $A$ .
3. لكي تكون لمصفوفة $A$ مصفوفة عكسية، يجب أن يكون محدد $A$ غير صفري.
4. يتم حساب المصفوفة العكسية باستخدام القاعدة:
$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A)$
حيث $\det(A)$ هو محدد المصفوفة $A$ ، و $\text{adj}(A)$ هو مصفوفة المرافقة لـ $A$ .

STEP 2

أولاً، نحسب محدد المصفوفة $A$ .
$\det(A) = \left|\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ -2 & 1 \end{array}\right|$

STEP 3

نستخدم قاعدة الحدد للمصفوفات من الدرجة الثانية:
$\det(A) = (1)(1) - (-1)(-2)$

STEP 4

نحسب القيمة العددية للمحدد:
$\det(A) = 1 - 2 = -1$

STEP 5

بما أن محدد $A$ غير صفري، يمكننا حساب المصفوفة العكسية $A^{-1}$ .

STEP 6

نحسب مصفوفة المرافقة $\text{adj}(A)$ للمصفوفة $A$ . مصفوفة المرافقة تتكون من القيم القاصرة مع تغيير الإشارات بالتبادل.
$\text{adj}(A) = \left[\begin{array}{cc} +1 & +2 \\ +1 & +1 \end{array}\right]$

STEP 7

نستخدم القاعدة لحساب المصفوفة العكسية:
$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A)$

STEP 8

نستبدل القيم التي حصلنا عليها في الخطوات السابقة:
$A^{-1} = \frac{1}{-1} \cdot \left[\begin{array}{cc} +1 & +2 \\ +1 & +1 \end{array}\right]$

STEP 9

نحسب المصفوفة العكسية:
$A^{-1} = \left[\begin{array}{cc} -1 & -2 \\ -1 & -1 \end{array}\right]$
إذاً، المصفوفة العكسية للمصفوفة $A$ هي:
$A^{-1} = \left[\begin{array}{cc} -1 & -2 \\ -1 & -1 \end{array}\right]$

Was this helpful?

Find the inverse of the $2 \times 2$ matrix $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}$ .

STEP 1

STEP 2

أولاً، نحسب محدد المصفوفة $A$ .
$\det(A) = \left|\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ -2 & 1 \end{array}\right|$

STEP 3

نستخدم قاعدة الحدد للمصفوفات من الدرجة الثانية:
$\det(A) = (1)(1) - (-1)(-2)$

STEP 4

نحسب القيمة العددية للمحدد:
$\det(A) = 1 - 2 = -1$

STEP 5

بما أن محدد $A$ غير صفري، يمكننا حساب المصفوفة العكسية $A^{-1}$ .

STEP 6

نحسب مصفوفة المرافقة $\text{adj}(A)$ للمصفوفة $A$ . مصفوفة المرافقة تتكون من القيم القاصرة مع تغيير الإشارات بالتبادل.
$\text{adj}(A) = \left[\begin{array}{cc} +1 & +2 \\ +1 & +1 \end{array}\right]$

STEP 7

نستخدم القاعدة لحساب المصفوفة العكسية:
$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A)$

STEP 8

نستبدل القيم التي حصلنا عليها في الخطوات السابقة:
$A^{-1} = \frac{1}{-1} \cdot \left[\begin{array}{cc} +1 & +2 \\ +1 & +1 \end{array}\right]$

STEP 9

نحسب المصفوفة العكسية:
$A^{-1} = \left[\begin{array}{cc} -1 & -2 \\ -1 & -1 \end{array}\right]$
إذاً، المصفوفة العكسية للمصفوفة $A$ هي:
$A^{-1} = \left[\begin{array}{cc} -1 & -2 \\ -1 & -1 \end{array}\right]$

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

Find the inverse of the 2×22 \times 22×2 matrix A=[1−1−21]A = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}A=[1−2​−11​].

STEP 1

STEP 2

أولاً، نحسب محدد المصفوفة A A A.det⁡(A)=∣1−1−21∣ \det(A) = \left|\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ -2 & 1 \end{array}\right| det(A)=∣∣​1−2​−11​∣∣​

STEP 3

نستخدم قاعدة الحدد للمصفوفات من الدرجة الثانية:det⁡(A)=(1)(1)−(−1)(−2) \det(A) = (1)(1) - (-1)(-2) det(A)=(1)(1)−(−1)(−2)

STEP 4

نحسب القيمة العددية للمحدد:det⁡(A)=1−2=−1 \det(A) = 1 - 2 = -1 det(A)=1−2=−1

STEP 5

بما أن محدد A A A غير صفري، يمكننا حساب المصفوفة العكسية A−1 A^{-1} A−1.

STEP 6

STEP 7

نستخدم القاعدة لحساب المصفوفة العكسية:A−1=1det⁡(A)⋅adj(A) A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A) A−1=det(A)1​⋅adj(A)

STEP 8

نستبدل القيم التي حصلنا عليها في الخطوات السابقة:A−1=1−1⋅[+1+2+1+1] A^{-1} = \frac{1}{-1} \cdot \left[\begin{array}{cc} +1 & +2 \\ +1 & +1 \end{array}\right] A−1=−11​⋅[+1+1​+2+1​]

STEP 9

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

Find the inverse of the $2 \times 2$ matrix $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}$ .

أولاً، نحسب محدد المصفوفة $A$ .
$\det(A) = \left|\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ -2 & 1 \end{array}\right|$

نستخدم قاعدة الحدد للمصفوفات من الدرجة الثانية:
$\det(A) = (1)(1) - (-1)(-2)$

نحسب القيمة العددية للمحدد:
$\det(A) = 1 - 2 = -1$

بما أن محدد $A$ غير صفري، يمكننا حساب المصفوفة العكسية $A^{-1}$ .

نستخدم القاعدة لحساب المصفوفة العكسية:
$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A)$

نستبدل القيم التي حصلنا عليها في الخطوات السابقة:
$A^{-1} = \frac{1}{-1} \cdot \left[\begin{array}{cc} +1 & +2 \\ +1 & +1 \end{array}\right]$