Solved on Oct 24, 2023

Find the interval where the cubic function f(x)=x39xf(x) = x^3 - 9x has a positive average rate of change.

STEP 1

Suposiciones1. La función es f(x)=x39xf(x)=x^{3}-9 x . Necesitamos encontrar el intervalo donde ff tiene una tasa de cambio promedio positiva

STEP 2

Primero, necesitamos entender qué significa una tasa de cambio promedio positiva. La tasa de cambio promedio de una función ff en un intervalo [a,b][a, b] se define comof(b)f(a)ba\frac{f(b) - f(a)}{b - a}Si esta cantidad es positiva, entonces la función tiene una tasa de cambio promedio positiva en ese intervalo.

STEP 3

Para encontrar el intervalo donde ff tiene una tasa de cambio promedio positiva, necesitamos encontrar los valores de xx donde la derivada de ff es positiva. La derivada de ff nos da la tasa de cambio instantánea de ff, y si esta es positiva, entonces ff está aumentando en ese punto.

STEP 4

Primero, encontramos la derivada de ff. La derivada de f(x)=x39xf(x)=x^{3}-9 x esf(x)=3x29f'(x) =3x^{2} -9

STEP 5

Ahora, necesitamos encontrar los valores de xx donde f(x)f'(x) es positiva. Resolvemos la desigualdad f(x)>0f'(x) >03x29>03x^{2} -9 >0

STEP 6

Resolvemos la desigualdadx2>3x^{2} >3

STEP 7

Tomamos la raíz cuadrada de ambos lados de la desigualdad para obtenerx>3,x<3x > \sqrt{3},\, x < -\sqrt{3}Por lo tanto, la función ff tiene una tasa de cambio promedio positiva en los intervalos (,3)(-\infty, -\sqrt{3}) y (3,)(\sqrt{3}, \infty).

Was this helpful?
banner

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

ContactInfluencer programPolicyTerms
TwitterInstagramFacebookTikTokDiscord