Solved on Mar 05, 2024

Finde die Ableitung der Funktion f(x)=x3+2x2x9f(x)=x^{3}+2 x^{2}-x-9.

STEP 1

Annahmen
1. Die Funktion, von der wir die Ableitung finden wollen, ist f(x)=x3+2x2x9f(x) = x^3 + 2x^2 - x - 9.
2. Wir verwenden die Grundregeln der Differenzialrechnung, um die Ableitung zu berechnen.

STEP 2

Die Ableitung einer Summe von Funktionen ist die Summe der Ableitungen der einzelnen Funktionen. Wir wenden diese Regel an, um die Ableitung von f(x)f(x) zu finden.
f(x)=(x3)+(2x2)(x)(9)f'(x) = (x^3)' + (2x^2)' - (x)' - (9)'

STEP 3

Jetzt leiten wir jeden Term einzeln ab. Beginnen wir mit dem ersten Term (x3)(x^3)'.
(x3)=3x31=3x2 (x^3)' = 3x^{3-1} = 3x^2

STEP 4

Als nächstes leiten wir den zweiten Term (2x2)(2x^2)' ab.
(2x2)=22x21=4x (2x^2)' = 2 \cdot 2x^{2-1} = 4x

STEP 5

Der dritte Term (x)(x)' ist die Ableitung einer linearen Funktion.
(x)=1 (x)' = 1

STEP 6

Der letzte Term (9)(9)' ist die Ableitung einer Konstanten, welche immer 0 ist.
(9)=0 (9)' = 0

STEP 7

Nun setzen wir die Ableitungen der einzelnen Terme zusammen, um die Ableitung der gesamten Funktion zu erhalten.
f(x)=3x2+4x10 f'(x) = 3x^2 + 4x - 1 - 0

STEP 8

Vereinfachen wir das Ergebnis, indem wir die 0 weglassen, da sie keinen Einfluss auf die Summe hat.
f(x)=3x2+4x1 f'(x) = 3x^2 + 4x - 1
Die Ableitung der Funktion f(x)=x3+2x2x9f(x) = x^3 + 2x^2 - x - 9 ist f(x)=3x2+4x1f'(x) = 3x^2 + 4x - 1.

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