Solved on Jan 13, 2024

Find the derivative k(x)k'(x) of k(x)=4x2+10x36(4x37x2)k(x) = \sqrt[6]{-4 x^{2} + 10 x^{3}} \cdot (4 x^{3} - 7 x^{2}).

STEP 1

Annahmen
1. Die Funktion k(x)k(x) ist gegeben durch k(x)=4x2+10x36(4x37x2)k(x) = \sqrt[6]{-4 x^{2} + 10 x^{3}} \cdot (4 x^{3} - 7 x^{2}).
2. Wir sollen die Ableitung k(x)k'(x) der Funktion k(x)k(x) finden.
3. Die Ableitung eines Produkts zweier Funktionen kann mit der Produktregel gefunden werden.
4. Die Ableitung einer Wurzelfunktion kann durch Umformung in eine Potenzfunktion und Anwendung der Kettenregel gefunden werden.

STEP 2

Die Produktregel besagt, dass die Ableitung eines Produkts u(x)v(x)u(x) \cdot v(x) gegeben ist durch u(x)v(x)+u(x)v(x)u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x).

STEP 3

Identifiziere die beiden Funktionen, die das Produkt bilden. Setze u(x)=4x2+10x36u(x) = \sqrt[6]{-4 x^{2} + 10 x^{3}} und v(x)=4x37x2v(x) = 4 x^{3} - 7 x^{2}.

STEP 4

Die Funktion u(x)u(x) kann umgeformt werden in eine Potenzfunktion: u(x)=(4x2+10x3)16u(x) = (-4 x^{2} + 10 x^{3})^{\frac{1}{6}}.

STEP 5

Die Ableitung von v(x)v(x) kann direkt berechnet werden, da es sich um ein Polynom handelt. Die Potenzregel besagt, dass die Ableitung von xnx^n gleich nxn1n \cdot x^{n-1} ist.

STEP 6

Berechne die Ableitung von v(x)v(x):
v(x)=ddx(4x37x2)=12x214xv'(x) = \frac{d}{dx}(4 x^{3} - 7 x^{2}) = 12 x^{2} - 14 x

STEP 7

Um die Ableitung von u(x)u(x) zu finden, verwenden wir die Kettenregel, die besagt, dass die Ableitung von f(g(x))f(g(x)) gleich f(g(x))g(x)f'(g(x)) \cdot g'(x) ist.

STEP 8

Identifiziere die äußere Funktion f(z)=z16f(z) = z^{\frac{1}{6}} und die innere Funktion g(x)=4x2+10x3g(x) = -4 x^{2} + 10 x^{3}.

STEP 9

Berechne die Ableitung der äußeren Funktion f(z)=16z56f'(z) = \frac{1}{6} z^{-\frac{5}{6}}.

STEP 10

Berechne die Ableitung der inneren Funktion g(x)=ddx(4x2+10x3)=8x+30x2g'(x) = \frac{d}{dx}(-4 x^{2} + 10 x^{3}) = -8 x + 30 x^{2}.

STEP 11

Setze die Ableitungen in die Kettenregel ein, um u(x)u'(x) zu finden:
u(x)=f(g(x))g(x)=16(4x2+10x3)56(8x+30x2)u'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) = \frac{1}{6} (-4 x^{2} + 10 x^{3})^{-\frac{5}{6}} \cdot (-8 x + 30 x^{2})

STEP 12

Jetzt haben wir u(x)u'(x) und v(x)v'(x). Wir setzen diese in die Produktregel ein, um k(x)k'(x) zu finden:
k(x)=u(x)v(x)+u(x)v(x)k'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)

STEP 13

Setze die berechneten Ableitungen und Funktionen in die Produktregel ein:
k(x)=(16(4x2+10x3)56(8x+30x2))(4x37x2)+((4x2+10x3)16)(12x214x)k'(x) = \left(\frac{1}{6} (-4 x^{2} + 10 x^{3})^{-\frac{5}{6}} \cdot (-8 x + 30 x^{2})\right) \cdot (4 x^{3} - 7 x^{2}) + \left((-4 x^{2} + 10 x^{3})^{\frac{1}{6}}\right) \cdot (12 x^{2} - 14 x)

STEP 14

Vereinfache den Ausdruck, indem du gleichartige Terme zusammenfasst und die Potenzgesetze anwendest.

STEP 15

Die Ableitung k(x)k'(x) ist nun vollständig berechnet und vereinfacht.

Was this helpful?
banner

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

ContactInfluencer programPolicyTerms
TwitterInstagramFacebookTikTokDiscord