Solved on Feb 04, 2024

Expand the binomial expression $(x+h)^{5}$ using the binomial formula.

STEP 1

Annahmen
1. Wir möchten den Ausdruck $(x+h)^{5}$ mithilfe der binomischen Formel ausmultiplizieren.
2. Die binomische Formel für $(a+b)^{n}$ lautet $\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^{k}$ , wobei $\binom{n}{k}$ der Binomialkoeffizient ist und durch $\frac{n!}{k!(n-k)!}$ berechnet wird.

STEP 2

Wir identifizieren $a$ und $b$ in unserem Ausdruck $(x+h)^{5}$ .
$a = x, \quad b = h$

STEP 3

Wir setzen $n=5$ , da dies die Potenz ist, auf die $(x+h)$ erhoben wird.

STEP 4

Wir berechnen die Binomialkoeffizienten $\binom{5}{k}$ für $k=0,1,2,3,4,5$ .
$\binom{5}{0} = 1, \quad \binom{5}{1} = 5, \quad \binom{5}{2} = 10, \quad \binom{5}{3} = 10, \quad \binom{5}{4} = 5, \quad \binom{5}{5} = 1$

STEP 5

Wir setzen die Werte von $a$ , $b$ und die berechneten Binomialkoeffizienten in die binomische Formel ein.
$(x+h)^{5} = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} x^{5-k} h^{k}$

STEP 6

Wir multiplizieren jeden Term aus, indem wir die entsprechenden Potenzen von $x$ und $h$ sowie die Binomialkoeffizienten verwenden.
$(x+h)^{5} = \binom{5}{0} x^{5} h^{0} + \binom{5}{1} x^{4} h^{1} + \binom{5}{2} x^{3} h^{2} + \binom{5}{3} x^{2} h^{3} + \binom{5}{4} x^{1} h^{4} + \binom{5}{5} x^{0} h^{5}$

STEP 7

Wir setzen die Werte der Binomialkoeffizienten ein und vereinfachen jeden Term.
$(x+h)^{5} = 1 \cdot x^{5} \cdot 1 + 5 \cdot x^{4} \cdot h + 10 \cdot x^{3} \cdot h^{2} + 10 \cdot x^{2} \cdot h^{3} + 5 \cdot x \cdot h^{4} + 1 \cdot 1 \cdot h^{5}$

STEP 8

Wir schreiben das Endergebnis ohne die multiplikativen Einsen und vereinfachen weiter.
$(x+h)^{5} = x^{5} + 5x^{4}h + 10x^{3}h^{2} + 10x^{2}h^{3} + 5xh^{4} + h^{5}$
Das ist die vollständig ausmultiplizierte Form von $(x+h)^{5}$ mithilfe der binomischen Formel.

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Expand the binomial expression $(x+h)^{5}$ using the binomial formula.

STEP 1

Annahmen
1. Wir möchten den Ausdruck $(x+h)^{5}$ mithilfe der binomischen Formel ausmultiplizieren.
2. Die binomische Formel für $(a+b)^{n}$ lautet $\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^{k}$ , wobei $\binom{n}{k}$ der Binomialkoeffizient ist und durch $\frac{n!}{k!(n-k)!}$ berechnet wird.

STEP 2

Wir identifizieren $a$ und $b$ in unserem Ausdruck $(x+h)^{5}$ .
$a = x, \quad b = h$

STEP 3

Wir setzen $n=5$ , da dies die Potenz ist, auf die $(x+h)$ erhoben wird.

STEP 4

Wir berechnen die Binomialkoeffizienten $\binom{5}{k}$ für $k=0,1,2,3,4,5$ .
$\binom{5}{0} = 1, \quad \binom{5}{1} = 5, \quad \binom{5}{2} = 10, \quad \binom{5}{3} = 10, \quad \binom{5}{4} = 5, \quad \binom{5}{5} = 1$

STEP 5

Wir setzen die Werte von $a$ , $b$ und die berechneten Binomialkoeffizienten in die binomische Formel ein.
$(x+h)^{5} = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} x^{5-k} h^{k}$

STEP 6

STEP 7

Wir setzen die Werte der Binomialkoeffizienten ein und vereinfachen jeden Term.
$(x+h)^{5} = 1 \cdot x^{5} \cdot 1 + 5 \cdot x^{4} \cdot h + 10 \cdot x^{3} \cdot h^{2} + 10 \cdot x^{2} \cdot h^{3} + 5 \cdot x \cdot h^{4} + 1 \cdot 1 \cdot h^{5}$

STEP 8

Wir schreiben das Endergebnis ohne die multiplikativen Einsen und vereinfachen weiter.
$(x+h)^{5} = x^{5} + 5x^{4}h + 10x^{3}h^{2} + 10x^{2}h^{3} + 5xh^{4} + h^{5}$
Das ist die vollständig ausmultiplizierte Form von $(x+h)^{5}$ mithilfe der binomischen Formel.

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Expand the binomial expression (x+h)5(x+h)^{5}(x+h)5 using the binomial formula.

STEP 1

STEP 2

Wir identifizieren aaa und bbb in unserem Ausdruck (x+h)5(x+h)^{5}(x+h)5.a=x,b=ha = x, \quad b = ha=x,b=h

STEP 3

Wir setzen n=5n=5n=5, da dies die Potenz ist, auf die (x+h)(x+h)(x+h) erhoben wird.

STEP 4

STEP 5

Wir setzen die Werte von aaa, bbb und die berechneten Binomialkoeffizienten in die binomische Formel ein.(x+h)5=∑k=05(5k)x5−khk (x+h)^{5} = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} x^{5-k} h^{k} (x+h)5=k=0∑5​(k5​)x5−khk

STEP 6

STEP 7

STEP 8

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Expand the binomial expression $(x+h)^{5}$ using the binomial formula.

Wir identifizieren $a$ und $b$ in unserem Ausdruck $(x+h)^{5}$ .
$a = x, \quad b = h$

Wir setzen $n=5$ , da dies die Potenz ist, auf die $(x+h)$ erhoben wird.

Wir setzen die Werte von $a$ , $b$ und die berechneten Binomialkoeffizienten in die binomische Formel ein.
$(x+h)^{5} = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} x^{5-k} h^{k}$