Solved on Mar 14, 2024

Trouver le point $R$ sur la droite $\Delta: 2x + 3y = 6$ le plus proche du point $Q(2, -4)$ .

STEP 1

Hypothèses
1. La droite $\Delta$ est définie par l'équation $2x + 3y = 6$ .
2. Le point $Q$ a pour coordonnées $(2, -4)$ .
3. Le point $R$ appartient à la droite $\Delta$ .
4. Le point $R$ est le plus proche possible du point $Q$ .
5. La distance entre deux points $(x_1, y_1)$ et $(x_2, y_2)$ est donnée par la formule $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ .
6. La distance minimale d'un point à une droite est obtenue par la projection orthogonale de ce point sur la droite.

STEP 2

Pour trouver le point $R$ le plus proche de $Q$ , nous devons trouver la projection orthogonale du point $Q$ sur la droite $\Delta$ .

STEP 3

L'équation de la droite perpendiculaire à $\Delta$ passant par $Q$ peut être trouvée en utilisant la pente négative réciproque de la pente de $\Delta$ .

STEP 4

La pente de la droite $\Delta$ est donnée par le coefficient de $x$ divisé par l'opposé du coefficient de $y$ .
$m_{\Delta} = -\frac{2}{3}$

STEP 5

La pente de la droite perpendiculaire à $\Delta$ est donc l'inverse de $m_{\Delta}$ et changée de signe.
$m_{\perp} = -\frac{1}{m_{\Delta}} = \frac{3}{2}$

STEP 6

L'équation de la droite perpendiculaire à $\Delta$ passant par $Q(2, -4)$ peut être écrite sous la forme point-pente.
$y - y_1 = m(x - x_1)$

STEP 7

En remplaçant $m$ par $m_{\perp}$ et $(x_1, y_1)$ par les coordonnées de $Q$ , nous obtenons l'équation de la droite perpendiculaire.
$y - (-4) = \frac{3}{2}(x - 2)$

STEP 8

Simplifions l'équation de la droite perpendiculaire.
$y + 4 = \frac{3}{2}x - 3$

STEP 9

Mettre l'équation sous la forme $y = mx + b$ .
$y = \frac{3}{2}x + 1$

STEP 10

Le point $R$ est à l'intersection de la droite $\Delta$ et de la droite perpendiculaire que nous venons de trouver. Pour trouver ce point, nous devons résoudre le système d'équations constitué par les deux équations de droites.
$\begin{cases} 2x + 3y = 6 \\ y = \frac{3}{2}x + 1 \end{cases}$

STEP 11

Remplaçons $y$ dans la première équation par son expression trouvée dans la deuxième équation.
$2x + 3\left(\frac{3}{2}x + 1\right) = 6$

STEP 12

Distribuons le $3$ dans la parenthèse.
$2x + \frac{9}{2}x + 3 = 6$

STEP 13

Additionnons les termes en $x$ .
$\frac{4}{2}x + \frac{9}{2}x = 6 - 3$

STEP 14

Simplifions l'équation.
$\frac{13}{2}x = 3$

STEP 15

Isolons $x$ .
$x = \frac{3}{\frac{13}{2}}$

STEP 16

Calculons la valeur de $x$ .
$x = \frac{3}{\frac{13}{2}} = \frac{3 \times 2}{13} = \frac{6}{13}$

STEP 17

Maintenant que nous avons $x$ , utilisons-le pour trouver $y$ en utilisant l'équation de la droite perpendiculaire.
$y = \frac{3}{2}x + 1$

STEP 18

Remplaçons $x$ par sa valeur.
$y = \frac{3}{2}\left(\frac{6}{13}\right) + 1$

STEP 19

Calculons la valeur de $y$ .
$y = \frac{3 \times 6}{2 \times 13} + 1 = \frac{9}{13} + 1$

STEP 20

Simplifions la fraction et ajoutons 1.
$y = \frac{9}{13} + \frac{13}{13} = \frac{22}{13}$

STEP 21

Le point $R$ qui est le plus proche de $Q$ et qui appartient à la droite $\Delta$ a pour coordonnées $\left(\frac{6}{13}, \frac{22}{13}\right)$ .
La solution est donc $R\left(\frac{6}{13}, \frac{22}{13}\right)$ .

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Trouver le point RRR sur la droite Δ:2x+3y=6\Delta: 2x + 3y = 6Δ:2x+3y=6 le plus proche du point Q(2,−4)Q(2, -4)Q(2,−4).

STEP 1

STEP 2

Pour trouver le point RRR le plus proche de QQQ, nous devons trouver la projection orthogonale du point QQQ sur la droite Δ\DeltaΔ.

STEP 3

L'équation de la droite perpendiculaire à Δ\DeltaΔ passant par QQQ peut être trouvée en utilisant la pente négative réciproque de la pente de Δ\DeltaΔ.

STEP 4

La pente de la droite Δ\DeltaΔ est donnée par le coefficient de xxx divisé par l'opposé du coefficient de yyy.mΔ=−23m_{\Delta} = -\frac{2}{3}mΔ​=−32​

STEP 5

La pente de la droite perpendiculaire à Δ\DeltaΔ est donc l'inverse de mΔm_{\Delta}mΔ​ et changée de signe.m⊥=−1mΔ=32m_{\perp} = -\frac{1}{m_{\Delta}} = \frac{3}{2}m⊥​=−mΔ​1​=23​

STEP 6

L'équation de la droite perpendiculaire à Δ\DeltaΔ passant par Q(2,−4)Q(2, -4)Q(2,−4) peut être écrite sous la forme point-pente.y−y1=m(x−x1)y - y_1 = m(x - x_1)y−y1​=m(x−x1​)

STEP 7

En remplaçant mmm par m⊥m_{\perp}m⊥​ et (x1,y1)(x_1, y_1)(x1​,y1​) par les coordonnées de QQQ, nous obtenons l'équation de la droite perpendiculaire.y−(−4)=32(x−2)y - (-4) = \frac{3}{2}(x - 2)y−(−4)=23​(x−2)

STEP 8

Simplifions l'équation de la droite perpendiculaire.y+4=32x−3y + 4 = \frac{3}{2}x - 3y+4=23​x−3

STEP 9

Mettre l'équation sous la forme y=mx+by = mx + by=mx+b.y=32x+1y = \frac{3}{2}x + 1y=23​x+1

STEP 10

STEP 11

Remplaçons yyy dans la première équation par son expression trouvée dans la deuxième équation.2x+3(32x+1)=62x + 3\left(\frac{3}{2}x + 1\right) = 62x+3(23​x+1)=6

STEP 12

Distribuons le 333 dans la parenthèse.2x+92x+3=62x + \frac{9}{2}x + 3 = 62x+29​x+3=6

STEP 13

Additionnons les termes en xxx.42x+92x=6−3\frac{4}{2}x + \frac{9}{2}x = 6 - 324​x+29​x=6−3

STEP 14

Simplifions l'équation.132x=3\frac{13}{2}x = 3213​x=3

STEP 15

Isolons xxx.x=3132x = \frac{3}{\frac{13}{2}}x=213​3​

STEP 16

Calculons la valeur de xxx.x=3132=3×213=613x = \frac{3}{\frac{13}{2}} = \frac{3 \times 2}{13} = \frac{6}{13}x=213​3​=133×2​=136​

STEP 17

Maintenant que nous avons xxx, utilisons-le pour trouver yyy en utilisant l'équation de la droite perpendiculaire.y=32x+1y = \frac{3}{2}x + 1y=23​x+1

STEP 18

Remplaçons xxx par sa valeur.y=32(613)+1y = \frac{3}{2}\left(\frac{6}{13}\right) + 1y=23​(136​)+1

STEP 19

Calculons la valeur de yyy.y=3×62×13+1=913+1y = \frac{3 \times 6}{2 \times 13} + 1 = \frac{9}{13} + 1y=2×133×6​+1=139​+1

STEP 20

Simplifions la fraction et ajoutons 1.y=913+1313=2213y = \frac{9}{13} + \frac{13}{13} = \frac{22}{13}y=139​+1313​=1322​

STEP 21

Le point RRR qui est le plus proche de QQQ et qui appartient à la droite Δ\DeltaΔ a pour coordonnées (613,2213)\left(\frac{6}{13}, \frac{22}{13}\right)(136​,1322​).La solution est donc R(613,2213)R\left(\frac{6}{13}, \frac{22}{13}\right)R(136​,1322​).

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Trouver le point $R$ sur la droite $\Delta: 2x + 3y = 6$ le plus proche du point $Q(2, -4)$ .

Pour trouver le point $R$ le plus proche de $Q$ , nous devons trouver la projection orthogonale du point $Q$ sur la droite $\Delta$ .

L'équation de la droite perpendiculaire à $\Delta$ passant par $Q$ peut être trouvée en utilisant la pente négative réciproque de la pente de $\Delta$ .

La pente de la droite $\Delta$ est donnée par le coefficient de $x$ divisé par l'opposé du coefficient de $y$ .
$m_{\Delta} = -\frac{2}{3}$

La pente de la droite perpendiculaire à $\Delta$ est donc l'inverse de $m_{\Delta}$ et changée de signe.
$m_{\perp} = -\frac{1}{m_{\Delta}} = \frac{3}{2}$

L'équation de la droite perpendiculaire à $\Delta$ passant par $Q(2, -4)$ peut être écrite sous la forme point-pente.
$y - y_1 = m(x - x_1)$

En remplaçant $m$ par $m_{\perp}$ et $(x_1, y_1)$ par les coordonnées de $Q$ , nous obtenons l'équation de la droite perpendiculaire.
$y - (-4) = \frac{3}{2}(x - 2)$

Simplifions l'équation de la droite perpendiculaire.
$y + 4 = \frac{3}{2}x - 3$

Mettre l'équation sous la forme $y = mx + b$ .
$y = \frac{3}{2}x + 1$

Remplaçons $y$ dans la première équation par son expression trouvée dans la deuxième équation.
$2x + 3\left(\frac{3}{2}x + 1\right) = 6$

Distribuons le $3$ dans la parenthèse.
$2x + \frac{9}{2}x + 3 = 6$

Additionnons les termes en $x$ .
$\frac{4}{2}x + \frac{9}{2}x = 6 - 3$

Simplifions l'équation.
$\frac{13}{2}x = 3$

Isolons $x$ .
$x = \frac{3}{\frac{13}{2}}$

Calculons la valeur de $x$ .
$x = \frac{3}{\frac{13}{2}} = \frac{3 \times 2}{13} = \frac{6}{13}$

Maintenant que nous avons $x$ , utilisons-le pour trouver $y$ en utilisant l'équation de la droite perpendiculaire.
$y = \frac{3}{2}x + 1$

Remplaçons $x$ par sa valeur.
$y = \frac{3}{2}\left(\frac{6}{13}\right) + 1$

Calculons la valeur de $y$ .
$y = \frac{3 \times 6}{2 \times 13} + 1 = \frac{9}{13} + 1$

Simplifions la fraction et ajoutons 1.
$y = \frac{9}{13} + \frac{13}{13} = \frac{22}{13}$

Le point $R$ qui est le plus proche de $Q$ et qui appartient à la droite $\Delta$ a pour coordonnées $\left(\frac{6}{13}, \frac{22}{13}\right)$ .
La solution est donc $R\left(\frac{6}{13}, \frac{22}{13}\right)$ .