Solved on Dec 08, 2023

Compute the area between the graph of ff and the xx-axis on interval II. a) f(x)=3x6,I=[2;6]f(x)=3x-6, I=[-2; 6] b) f(x)=cos(x),I=[0;2π]f(x)=\cos(x), I=[0; 2\pi]

STEP 1

Annahmen
1. Die Funktion f(x)f(x) ist gegeben und wir sollen den Flächeninhalt unter dem Graphen von ff über einem bestimmten Intervall II bestimmen.
2. Für Teil a) ist die Funktion f(x)=3x6f(x) = 3x - 6 und das Intervall I=[2;6]I = [-2; 6].
3. Für Teil b) ist die Funktion f(x)=cos(x)f(x) = \cos(x) und das Intervall I=[0;2π]I = [0; 2\pi].
4. Der Flächeninhalt wird als der Betrag des bestimmten Integrals von f(x)f(x) über das Intervall II berechnet.

STEP 2

Berechnung des Flächeninhalts für Teil a).
Wir berechnen das bestimmte Integral der Funktion f(x)=3x6f(x) = 3x - 6 über das Intervall [2;6][-2; 6].
A=26(3x6)dxA = \int_{-2}^{6} (3x - 6) \, dx

STEP 3

Berechnen des Integrals.
A=[32x26x]26A = \left[ \frac{3}{2}x^2 - 6x \right]_{-2}^{6}

STEP 4

Berechnen des Integrals an den Grenzen des Intervalls und Subtraktion der Werte.
A=(326266)(32(2)26(2))A = \left( \frac{3}{2} \cdot 6^2 - 6 \cdot 6 \right) - \left( \frac{3}{2} \cdot (-2)^2 - 6 \cdot (-2) \right)

STEP 5

Vereinfachung der Berechnung.
A=(323636)(324+12)A = \left( \frac{3}{2} \cdot 36 - 36 \right) - \left( \frac{3}{2} \cdot 4 + 12 \right)

STEP 6

Weitere Vereinfachung.
A=(5436)(6+12)A = \left( 54 - 36 \right) - \left( 6 + 12 \right)

STEP 7

Berechnung des Flächeninhalts für Teil a).
A=1818=0A = 18 - 18 = 0
Der Flächeninhalt, den der Graph von f(x)=3x6f(x) = 3x - 6 über dem Intervall [2;6][-2; 6] mit der xx-Achse einschließt, beträgt 0 Quadrateneinheiten.

STEP 8

Berechnung des Flächeninhalts für Teil b).
Wir berechnen das bestimmte Integral der Funktion f(x)=cos(x)f(x) = \cos(x) über das Intervall [0;2π][0; 2\pi].
A=02πcos(x)dxA = \int_{0}^{2\pi} \cos(x) \, dx

STEP 9

Berechnen des Integrals.
A=[sin(x)]02πA = \left[ \sin(x) \right]_{0}^{2\pi}

STEP 10

Berechnen des Integrals an den Grenzen des Intervalls und Subtraktion der Werte.
A=sin(2π)sin(0)A = \sin(2\pi) - \sin(0)

STEP 11

Da sin(2π)=0\sin(2\pi) = 0 und sin(0)=0\sin(0) = 0, ergibt sich:
A=00A = 0 - 0

STEP 12

Berechnung des Flächeninhalts für Teil b).
A=0A = 0
Der Flächeninhalt, den der Graph von f(x)=cos(x)f(x) = \cos(x) über dem Intervall [0;2π][0; 2\pi] mit der xx-Achse einschließt, beträgt ebenfalls 0 Quadrateneinheiten.
Zusammenfassend haben beide Funktionen über den jeweiligen Intervallen einen Flächeninhalt von 0 Quadrateneinheiten mit der xx-Achse.

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