Solved on Sep 26, 2023

Gegeben ist eine Bushaltestelle mit quadratischem Dach, dessen Funktion $f(x)=-\frac{2}{9}x^2+0.5$ ist. Die Breite ist 3 m, Höhe ohne Dach 2 m, mit Dach 2.5 m, Tiefe 1 m. Bestimmen Sie die Koeffizienten des Dachprofils und das Volumen des Häuschens.

STEP 1

Annahmen1. Die Form des Daches ist eine quadratische Parabel, die durch die Funktion $f(x)=a x^{}+b x+c$ beschrieben wird. . Die Koeffizienten der Funktion sind gegeben als $a=-\frac{}{9}$ , $b=0$ und $c=0.5$ .
3. Die Breite der Bushaltestelle beträgt3 Meter.
4. Die Höhe der Bushaltestelle ohne das Dach beträgt Meter.
5. Die Höhe der Bushaltestelle mit dem Dach beträgt.5 Meter.
6. Die Tiefe der Bushaltestelle beträgt1 Meter.

STEP 2

Zuerst bestimmen wir die Koeffizienten des Dachprofils. Da $b=0$ und $c=0.5$ gegeben sind, ist die Funktion des Dachprofils $f(x)=-\frac{2}{9}x^{2}+0.5$ .

STEP 3

Da die Breite der Bushaltestelle3 Meter beträgt und die Parabel symmetrisch ist, geht die Parabel von $x=-1.5$ bis $x=1.5$ .

STEP 4

Um das Volumen des Häuschens zu bestimmen, addieren wir das Volumen des unteren Teils (ein Quader) und das Volumen des oberen Teils (das Dach).

STEP 5

Das Volumen des unteren Teils berechnen wir mit der Formel für das Volumen eines Quaders $V = Breite \times Höhe \times Tiefe$ .

STEP 6

Setzen wir die Werte ein $V_{\text{unten}} =3 \, \text{m} \times2 \, \text{m} \times1 \, \text{m}$ .

STEP 7

Berechnen wir das Volumen des unteren Teils $V_{\text{unten}} =6 \, \text{m}^{3}$ .

STEP 8

Das Volumen des oberen Teils (das Dach) berechnen wir mit der Formel für das Volumen unter einer Parabel $V = \int_{a}^{b} f(x) \, dx \times Tiefe$ .

STEP 9

Setzen wir die Werte ein $V_{\text{oben}} = \int_{-.5}^{.5} (-\frac{2}{9}x^{2}+.5) \, dx \times \, \text{m}$ .

STEP 10

Berechnen wir das Integral $V_{\text{oben}} = [-\frac{2}{27}x^{3}+0.5x]_{-.5}^{.5} \times \, \text{m}$ .

STEP 11

Setzen wir die Grenzen ein und berechnen das Volumen des oberen Teils $V_{\text{oben}} = ([-\frac{}{27}(.5)^{3}+0.5(.5)] - [-\frac{}{27}(-.5)^{3}+0.5(-.5)]) \times \, \text{m}$ .

STEP 12

Berechnen wir das Volumen des oberen Teils $V_{\text{oben}} =0.5 \, \text{m}^{}$ .

STEP 13

Jetzt addieren wir das Volumen des unteren Teils und das Volumen des oberen Teils, um das Gesamtvolumen des Häuschens zu erhalten $V_{\text{gesamt}} = V_{\text{unten}} + V_{\text{oben}}$ .

STEP 14

Setzen wir die Werte ein $V_{\text{gesamt}} =6 \, \text{m}^{3} +0. \, \text{m}^{3}$ .

STEP 15

Berechnen wir das Gesamtvolumen des Häuschens $V_{\text{gesamt}} =.5 \, \text{m}^{3}$ .
Das Volumen des Häuschens beträgt.5 Kubikmeter.

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Gegeben ist eine Bushaltestelle mit quadratischem Dach, dessen Funktion $f(x)=-\frac{2}{9}x^2+0.5$ ist. Die Breite ist 3 m, Höhe ohne Dach 2 m, mit Dach 2.5 m, Tiefe 1 m. Bestimmen Sie die Koeffizienten des Dachprofils und das Volumen des Häuschens.

STEP 1

STEP 2

Zuerst bestimmen wir die Koeffizienten des Dachprofils. Da $b=0$ und $c=0.5$ gegeben sind, ist die Funktion des Dachprofils $f(x)=-\frac{2}{9}x^{2}+0.5$ .

STEP 3

Da die Breite der Bushaltestelle3 Meter beträgt und die Parabel symmetrisch ist, geht die Parabel von $x=-1.5$ bis $x=1.5$ .

STEP 4

Um das Volumen des Häuschens zu bestimmen, addieren wir das Volumen des unteren Teils (ein Quader) und das Volumen des oberen Teils (das Dach).

STEP 5

Das Volumen des unteren Teils berechnen wir mit der Formel für das Volumen eines Quaders $V = Breite \times Höhe \times Tiefe$ .

STEP 6

Setzen wir die Werte ein $V_{\text{unten}} =3 \, \text{m} \times2 \, \text{m} \times1 \, \text{m}$ .

STEP 7

Berechnen wir das Volumen des unteren Teils $V_{\text{unten}} =6 \, \text{m}^{3}$ .

STEP 8

Das Volumen des oberen Teils (das Dach) berechnen wir mit der Formel für das Volumen unter einer Parabel $V = \int_{a}^{b} f(x) \, dx \times Tiefe$ .

STEP 9

Setzen wir die Werte ein $V_{\text{oben}} = \int_{-.5}^{.5} (-\frac{2}{9}x^{2}+.5) \, dx \times \, \text{m}$ .

STEP 10

Berechnen wir das Integral $V_{\text{oben}} = [-\frac{2}{27}x^{3}+0.5x]_{-.5}^{.5} \times \, \text{m}$ .

STEP 11

Setzen wir die Grenzen ein und berechnen das Volumen des oberen Teils $V_{\text{oben}} = ([-\frac{}{27}(.5)^{3}+0.5(.5)] - [-\frac{}{27}(-.5)^{3}+0.5(-.5)]) \times \, \text{m}$ .

STEP 12

Berechnen wir das Volumen des oberen Teils $V_{\text{oben}} =0.5 \, \text{m}^{}$ .

STEP 13

Jetzt addieren wir das Volumen des unteren Teils und das Volumen des oberen Teils, um das Gesamtvolumen des Häuschens zu erhalten $V_{\text{gesamt}} = V_{\text{unten}} + V_{\text{oben}}$ .

STEP 14

Setzen wir die Werte ein $V_{\text{gesamt}} =6 \, \text{m}^{3} +0. \, \text{m}^{3}$ .

STEP 15

Berechnen wir das Gesamtvolumen des Häuschens $V_{\text{gesamt}} =.5 \, \text{m}^{3}$ .
Das Volumen des Häuschens beträgt.5 Kubikmeter.

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Gegeben ist eine Bushaltestelle mit quadratischem Dach, dessen Funktion f(x)=−29x2+0.5f(x)=-\frac{2}{9}x^2+0.5f(x)=−92​x2+0.5 ist. Die Breite ist 3 m, Höhe ohne Dach 2 m, mit Dach 2.5 m, Tiefe 1 m. Bestimmen Sie die Koeffizienten des Dachprofils und das Volumen des Häuschens.

STEP 1

STEP 2

Zuerst bestimmen wir die Koeffizienten des Dachprofils. Da b=0b=0b=0 und c=0.5c=0.5c=0.5 gegeben sind, ist die Funktion des Dachprofils f(x)=−29x2+0.5f(x)=-\frac{2}{9}x^{2}+0.5f(x)=−92​x2+0.5.

STEP 3

Da die Breite der Bushaltestelle3 Meter beträgt und die Parabel symmetrisch ist, geht die Parabel von x=−1.5x=-1.5x=−1.5 bis x=1.5x=1.5x=1.5.

STEP 4

Um das Volumen des Häuschens zu bestimmen, addieren wir das Volumen des unteren Teils (ein Quader) und das Volumen des oberen Teils (das Dach).

STEP 5

Das Volumen des unteren Teils berechnen wir mit der Formel für das Volumen eines Quaders V=Breite×Ho¨he×TiefeV = Breite \times Höhe \times TiefeV=Breite×Ho¨he×Tiefe.

STEP 6

Setzen wir die Werte ein Vunten=3 m×2 m×1 mV_{\text{unten}} =3 \, \text{m} \times2 \, \text{m} \times1 \, \text{m}Vunten​=3m×2m×1m.

STEP 7

Berechnen wir das Volumen des unteren Teils Vunten=6 m3V_{\text{unten}} =6 \, \text{m}^{3}Vunten​=6m3.

STEP 8

Das Volumen des oberen Teils (das Dach) berechnen wir mit der Formel für das Volumen unter einer Parabel V=∫abf(x) dx×TiefeV = \int_{a}^{b} f(x) \, dx \times TiefeV=∫ab​f(x)dx×Tiefe.

STEP 9

Setzen wir die Werte ein Voben=∫−.5.5(−29x2+.5) dx× mV_{\text{oben}} = \int_{-.5}^{.5} (-\frac{2}{9}x^{2}+.5) \, dx \times \, \text{m}Voben​=∫−.5.5​(−92​x2+.5)dx×m.

STEP 10

Berechnen wir das Integral Voben=[−227x3+0.5x]−.5.5× mV_{\text{oben}} = [-\frac{2}{27}x^{3}+0.5x]_{-.5}^{.5} \times \, \text{m}Voben​=[−272​x3+0.5x]−.5.5​×m.

STEP 11

STEP 12

Berechnen wir das Volumen des oberen Teils Voben=0.5 mV_{\text{oben}} =0.5 \, \text{m}^{}Voben​=0.5m.

STEP 13

Jetzt addieren wir das Volumen des unteren Teils und das Volumen des oberen Teils, um das Gesamtvolumen des Häuschens zu erhalten Vgesamt=Vunten+VobenV_{\text{gesamt}} = V_{\text{unten}} + V_{\text{oben}}Vgesamt​=Vunten​+Voben​.

STEP 14

Setzen wir die Werte ein Vgesamt=6 m3+0. m3V_{\text{gesamt}} =6 \, \text{m}^{3} +0. \, \text{m}^{3}Vgesamt​=6m3+0.m3.

STEP 15

Berechnen wir das Gesamtvolumen des Häuschens Vgesamt=.5 m3V_{\text{gesamt}} =.5 \, \text{m}^{3}Vgesamt​=.5m3.Das Volumen des Häuschens beträgt.5 Kubikmeter.

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Gegeben ist eine Bushaltestelle mit quadratischem Dach, dessen Funktion $f(x)=-\frac{2}{9}x^2+0.5$ ist. Die Breite ist 3 m, Höhe ohne Dach 2 m, mit Dach 2.5 m, Tiefe 1 m. Bestimmen Sie die Koeffizienten des Dachprofils und das Volumen des Häuschens.

Zuerst bestimmen wir die Koeffizienten des Dachprofils. Da $b=0$ und $c=0.5$ gegeben sind, ist die Funktion des Dachprofils $f(x)=-\frac{2}{9}x^{2}+0.5$ .

Da die Breite der Bushaltestelle3 Meter beträgt und die Parabel symmetrisch ist, geht die Parabel von $x=-1.5$ bis $x=1.5$ .

Das Volumen des unteren Teils berechnen wir mit der Formel für das Volumen eines Quaders $V = Breite \times Höhe \times Tiefe$ .

Setzen wir die Werte ein $V_{\text{unten}} =3 \, \text{m} \times2 \, \text{m} \times1 \, \text{m}$ .

Berechnen wir das Volumen des unteren Teils $V_{\text{unten}} =6 \, \text{m}^{3}$ .

Das Volumen des oberen Teils (das Dach) berechnen wir mit der Formel für das Volumen unter einer Parabel $V = \int_{a}^{b} f(x) \, dx \times Tiefe$ .

Setzen wir die Werte ein $V_{\text{oben}} = \int_{-.5}^{.5} (-\frac{2}{9}x^{2}+.5) \, dx \times \, \text{m}$ .

Berechnen wir das Integral $V_{\text{oben}} = [-\frac{2}{27}x^{3}+0.5x]_{-.5}^{.5} \times \, \text{m}$ .

Berechnen wir das Volumen des oberen Teils $V_{\text{oben}} =0.5 \, \text{m}^{}$ .

Jetzt addieren wir das Volumen des unteren Teils und das Volumen des oberen Teils, um das Gesamtvolumen des Häuschens zu erhalten $V_{\text{gesamt}} = V_{\text{unten}} + V_{\text{oben}}$ .

Setzen wir die Werte ein $V_{\text{gesamt}} =6 \, \text{m}^{3} +0. \, \text{m}^{3}$ .

Berechnen wir das Gesamtvolumen des Häuschens $V_{\text{gesamt}} =.5 \, \text{m}^{3}$ .
Das Volumen des Häuschens beträgt.5 Kubikmeter.