Math  /  Algebra

QuestionMinistère de l'éducation Nationale Académique Provinciale de la Ngounié Lycée Paul Marie YEMBIT de Ndendé B.P. 03 Ndendé Année scol
Département de Mathématiques
DEVOIR DE MATHEMATIQUES N 1{ }^{\circ} 1 Consignes: Présentation: 01 Date: 18 I Deure: 03 - Aucun échange entre élèves ne sera toléré ; - Les calculatrices sont acceptées; - La présentation sera prise en compte.
Exercice 1:
1. Soit a et bb deux réels vérifiant: 0a<b0 \leq a<b

Démontrer les relations: a) a<ab<ba<\sqrt{a b}<b b) a<2aba+b<a+b2a<\frac{2 a b}{a+b}<\frac{a+b}{2}
2. Soit (an)\left(a_{n}\right) et ( bnb_{n} ) deux suites définies pour n1n \geq 1 par: b1=23 et bn+1=2anbnanbn puis a1=3 et an+1=anbn+12b_{1}=2 \sqrt{3} \text { et } b_{n+1}=\frac{2 a_{n} b_{n}}{a_{n} b_{n}} \text { puis } a_{1}=3 \text { et } a_{n+1}={\sqrt{a_{n}} b_{n+1}}^{2}

En utilisant le 1.a, démontrer par récurrence que pour tout n1,:0an<bnn \geq 1,: 0 \leq a_{n}<b_{n}
3. En déduire le sens de variation des suites (an)\left(a_{n}\right) et (bn)\left(b_{n}\right)
4. Montrer la convergence des suites (an)\left(a_{n}\right) et (bn)\left(b_{n}\right).
5. Démontrer que, pour n1n \geq 1 (on pourra utiliser 1.) bn+1an+11/2(bnan)b_{n+1}-a_{n+1} \leqslant 1 / 2\left(b_{n}-a_{n}\right)
6. En déduire que pour n1,bnan1/2n \geq 1, b_{n}-a_{n} \leq 1 / 2
7. En déduire que, pour n1n \geq 1 les suites (an)\left(a_{n}\right) et (bn)\left(b_{n}\right) convergent vers une même limite. EXERCICE 2

Studdy Solution
Les suites (an)(a_n) et (bn)(b_n) convergent vers une même limite.

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