Math  /  Algebra

QuestionMinistère de l'éducation Nationale Académique Provinciale de la Ngounié Lycée Paul Marie YEMBIT de Ndendé B.P. 03 Ndendé Année scol
Département de Mathématiques
DEVOIR DE MATHEMATIQUES N 1{ }^{\circ} 1 Consignes: Présentation: 01 Date: 18 I Deure: 03 - Aucun échange entre élèves ne sera toléré ; - Les calculatrices sont acceptées; - La présentation sera prise en compte.
Exercice 1:
1. Soit a et bb deux réels vérifiant: 0a<b0 \leq a<b

Démontrer les relations: a) a<ab<ba<\sqrt{a b}<b b) a<2aba+b<a+b2a<\frac{2 a b}{a+b}<\frac{a+b}{2}
2. Soit (an)\left(a_{n}\right) et ( bnb_{n} ) deux suites définies pour n1n \geq 1 par: b1=23 et bn+1=2anbnanbn puis a1=3 et an+1=anbn+12b_{1}=2 \sqrt{3} \text { et } b_{n+1}=\frac{2 a_{n} b_{n}}{a_{n} b_{n}} \text { puis } a_{1}=3 \text { et } a_{n+1}={\sqrt{a_{n}} b_{n+1}}^{2}

En utilisant le 1.a, démontrer par récurrence que pour tout n1,:0an<bnn \geq 1,: 0 \leq a_{n}<b_{n}
3. En déduire le sens de variation des suites (an)\left(a_{n}\right) et (bn)\left(b_{n}\right)
4. Montrer la convergence des suites (an)\left(a_{n}\right) et (bn)\left(b_{n}\right).
5. Démontrer que, pour n1n \geq 1 (on pourra utiliser 1.) bn+1an+11/2(bnan)b_{n+1}-a_{n+1} \leqslant 1 / 2\left(b_{n}-a_{n}\right)
6. En déduire que pour n1,bnan1/2n \geq 1, b_{n}-a_{n} \leq 1 / 2
7. En déduire que, pour n1n \geq 1 les suites (an)\left(a_{n}\right) et (bn)\left(b_{n}\right) convergent vers une même limite. EXERCICE 2

Studdy Solution

STEP 1

Qu'est-ce qu'on nous demande ? On nous demande d'étudier deux suites (an)(a_n) et (bn)(b_n), de démontrer qu'elles sont convergentes et qu'elles ont la même limite ! Attention ! Il faut être rigoureux avec les inégalités et bien justifier chaque étape du raisonnement par récurrence.
N'oublions pas les hypothèses de départ !

STEP 2

1. Démontrer les inégalités
2. Raisonnement par récurrence
3. Sens de variation des suites
4. Convergence des suites
5. Inégalité sur la différence des termes
6. Majoration de la différence
7. Convergence vers la même limite

STEP 3

On sait que 0<a<b0 < a < b.
Si on prend la racine carrée (qui est une fonction croissante) de chaque terme de l'inégalité a<ba < b, on obtient a<b\sqrt{a} < \sqrt{b}.
En multipliant par a\sqrt{a} (qui est positif) on a a<aba < \sqrt{ab}.
De même, en multipliant a<b\sqrt{a} < \sqrt{b} par b\sqrt{b} (qui est positif), on obtient ab<b\sqrt{ab} < b.
Donc, on a bien a<ab<ba < \sqrt{ab} < b.

STEP 4

On sait que 0<a<b0 < a < b.
Comme a<ba < b, en ajoutant aa à chaque membre, on a 2a<a+b2a < a + b.
En divisant par 22, on obtient a<a+b2a < \frac{a+b}{2}.
De même, en ajoutant bb à chaque membre de a<ba < b, on a a+b<2ba + b < 2b.
En divisant par 22, on obtient a+b2<b\frac{a+b}{2} < b.
Donc a<a+b2<ba < \frac{a+b}{2} < b. Par ailleurs, la moyenne harmonique est toujours inférieure à la moyenne arithmétique, donc 2aba+b<a+b2\frac{2ab}{a+b} < \frac{a+b}{2}.
De plus, comme a<ba<b, on a a(a+b)=a2+ab<2aba(a+b) = a^2 + ab < 2ab et 2ab<ab+b2=b(a+b)2ab < ab+b^2 = b(a+b), donc en divisant par (a+b)(a+b) qui est positif, on a a<2aba+b<ba < \frac{2ab}{a+b} < b.
Finalement, a<2aba+b<a+b2<ba < \frac{2ab}{a+b} < \frac{a+b}{2} < b.

STEP 5

Pour n=1n = 1, on a a1=3a_1 = 3 et b1=233.46b_1 = 2\sqrt{3} \approx 3.46.
Donc 0a1<b10 \le a_1 < b_1.

STEP 6

Supposons que 0an<bn0 \le a_n < b_n pour un certain n1n \ge 1.
Alors, d'après le résultat 2.1.1, an<anbn<bna_n < \sqrt{a_nb_n} < b_n, et comme an+1=anbna_{n+1} = \sqrt{a_nb_n}, on a an<an+1<bna_n < a_{n+1} < b_n.
De plus, d'après le résultat 2.1.2, an<2anbnan+bn<bna_n < \frac{2a_nb_n}{a_n+b_n} < b_n, et comme bn+1=2anbnan+bnb_{n+1} = \frac{2a_nb_n}{a_n+b_n}, on a an<bn+1<bna_n < b_{n+1} < b_n.
On a aussi an+1=anbn+1a_{n+1} = \sqrt{a_nb_{n+1}}, et comme an<bn+1a_n < b_{n+1}, d'après 2.1.1, an<an+1<bn+1a_n < a_{n+1} < b_{n+1}.
Donc 0an+1<bn+10 \le a_{n+1} < b_{n+1}.

STEP 7

Par récurrence, on a bien 0an<bn0 \le a_n < b_n pour tout n1n \ge 1.

STEP 8

On a montré que an<an+1a_n < a_{n+1}.
Donc la suite (an)(a_n) est **croissante**.

STEP 9

On a montré que bn+1<bnb_{n+1} < b_n.
Donc la suite (bn)(b_n) est **décroissante**.

STEP 10

(an)(a_n) est croissante et majorée par b1=23b_1 = 2\sqrt{3}, donc elle est **convergente**.

STEP 11

(bn)(b_n) est décroissante et minorée par a1=3a_1 = 3, donc elle est **convergente**.

STEP 12

bn+1an+1=2anbnan+bnanbn=2anbn(an+bn)anbnan+bn=anbn(2anbn(an+bn))an+bnb_{n+1} - a_{n+1} = \frac{2a_nb_n}{a_n+b_n} - \sqrt{a_nb_n} = \frac{2a_nb_n - (a_n+b_n)\sqrt{a_nb_n}}{a_n+b_n} = \frac{\sqrt{a_nb_n}(2\sqrt{a_nb_n} - (a_n+b_n))}{a_n+b_n}. Or, 2anbn(an+bn)02\sqrt{a_nb_n} - (a_n+b_n) \le 0 car (bnan)2=an+bn2anbn0(\sqrt{b_n}-\sqrt{a_n})^2 = a_n + b_n - 2\sqrt{a_nb_n} \ge 0. Donc bn+1an+1=anbnan+bn(bnan)2b_{n+1} - a_{n+1} = \frac{\sqrt{a_nb_n}}{a_n+b_n}(\sqrt{b_n}-\sqrt{a_n})^2. Comme bn>anb_n > a_n, on a bn+an>2anbnb_n + a_n > 2\sqrt{a_nb_n}, donc anbnan+bn<12\frac{\sqrt{a_nb_n}}{a_n+b_n} < \frac{1}{2}. Ainsi, bn+1an+112(bnan)b_{n+1} - a_{n+1} \le \frac{1}{2}(b_n - a_n).

STEP 13

Par récurrence, on a bnan12n1(b1a1)b_n - a_n \le \frac{1}{2^{n-1}}(b_1 - a_1).

STEP 14

Comme 0bnan12n1(b1a1)0 \le b_n - a_n \le \frac{1}{2^{n-1}}(b_1 - a_1) et que limn12n1=0\lim_{n\to\infty} \frac{1}{2^{n-1}} = 0, par le théorème des gendarmes, limn(bnan)=0\lim_{n\to\infty} (b_n - a_n) = 0.
Donc les suites (an)(a_n) et (bn)(b_n) convergent vers la même limite.

STEP 15

Les suites (an)(a_n) et (bn)(b_n) convergent vers une même limite.

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