Math  /  Geometry

QuestionFunktionenscharen: Sachaufgabe Der Damm Gegeben ist die Funktionenschar fa mit fa(x)=3ax2x3144;a>0f_{a}(x)=\frac{3 a x^{2}-x^{3}}{144} ; a>0
Für bestimmte Werte von a beschreiben die Graphen von faf_{a} zwischen den Nullstellen von faf_{a} den Querschnitt eines Deiches. a Ermittle den Wert von a so, dass der Damm 15 m breit ist und hebe anschließend den entsprechenden Graphen in der rechten Abbildung farbig hervor. Beschrifte ihn korrekt. b Zeige, dass für a = 4 die Böschung auf der rechten Seite mit 4545^{\circ} auf den horizontalen Boden trifft. c Ermittle den Wert von a so, dass der Deich an seiner höchsten Stelle 6 Meter hoch ist. [Kontrolle H (2a; 136a3\frac{1}{36} \mathrm{a}^{3} )] d Wähle zwei verschiedene Werte für a und zeige, dass die Hochpunkte des entsprechenden Graphen von faf_{a} auf dem Graphen GgG_{g} von gg mit g(x)=1288x3g(x)=\frac{1}{288} x^{3} liegen . e Bestimme die Stelle auf der linken Böschungsseite des Deiches, an der der Anstieg maximal wird (in Abhängigkeit von a).
Gib an, für welches a dieser maximale Anstieg 3030^{\circ} beträgt.

Studdy Solution
Um die Stelle des maximalen Anstiegs auf der linken Böschungsseite zu finden, müssen wir die zweite Ableitung von fa(x)f_a(x) nullsetzen:
fa(x)=6a6x144=0f''_a(x) = \frac{6a - 6x}{144} = 0
6a6x=06a - 6x = 0 x=ax = a
Der maximale Anstieg tritt also bei x=ax = a auf.
Um den Wert von aa zu finden, bei dem dieser Anstieg 30° beträgt, setzen wir x=ax = a in die erste Ableitung ein und setzen diese gleich tan(30°)\tan(30°):
fa(a)=6a23a2144=3a2144=tan(30°)=13f'_a(a) = \frac{6a^2 - 3a^2}{144} = \frac{3a^2}{144} = \tan(30°) = \frac{1}{\sqrt{3}}
3a2144=13\frac{3a^2}{144} = \frac{1}{\sqrt{3}}
a2=483a^2 = \frac{48}{\sqrt{3}}
a=434a = 4\sqrt[4]{3}

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