Math / Geometry

QuestionFunktionenscharen: Sachaufgabe Der Damm Gegeben ist die Funktionenschar fa mit $f_{a}(x)=\frac{3 a x^{2}-x^{3}}{144} ; a>0$
Für bestimmte Werte von a beschreiben die Graphen von $f_{a}$ zwischen den Nullstellen von $f_{a}$ den Querschnitt eines Deiches. a Ermittle den Wert von a so, dass der Damm 15 m breit ist und hebe anschließend den entsprechenden Graphen in der rechten Abbildung farbig hervor. Beschrifte ihn korrekt. b Zeige, dass für a = 4 die Böschung auf der rechten Seite mit $45^{\circ}$ auf den horizontalen Boden trifft. c Ermittle den Wert von a so, dass der Deich an seiner höchsten Stelle 6 Meter hoch ist. [Kontrolle H (2a; $\frac{1}{36} \mathrm{a}^{3}$ )] d Wähle zwei verschiedene Werte für a und zeige, dass die Hochpunkte des entsprechenden Graphen von $f_{a}$ auf dem Graphen $G_{g}$ von $g$ mit $g(x)=\frac{1}{288} x^{3}$ liegen . e Bestimme die Stelle auf der linken Böschungsseite des Deiches, an der der Anstieg maximal wird (in Abhängigkeit von a).
Gib an, für welches a dieser maximale Anstieg $30^{\circ}$ beträgt.

Studdy Solution

STEP 1

1. Die Funktionenschar ist gegeben als $f_{a}(x)=\frac{3 a x^{2}-x^{3}}{144}$ mit $a > 0$ .
2. Die Graphen von $f_a$ beschreiben den Querschnitt eines Deiches zwischen den Nullstellen.
3. Alle Berechnungen basieren auf dieser Funktionenschar.

STEP 2

1. Breite des Damms bestimmen (Teilaufgabe a)
2. Böschungswinkel überprüfen (Teilaufgabe b)
3. Höhe des Deiches berechnen (Teilaufgabe c)
4. Hochpunkte auf dem Graphen $G_g$ nachweisen (Teilaufgabe d)
5. Maximalen Anstieg der linken Böschungsseite ermitteln (Teilaufgabe e)

STEP 3

Um die Breite des Damms zu bestimmen, müssen wir die Nullstellen von $f_a(x)$ finden. Die Nullstellen repräsentieren die Punkte, wo der Damm den Boden berührt.
Setzen wir $f_a(x) = 0$ :
$\frac{3 a x^{2}-x^{3}}{144} = 0$
$3 a x^{2}-x^{3} = 0$
$x(3a - x) = 0$
Die Lösungen sind $x_1 = 0$ und $x_2 = 3a$ .
Die Breite des Damms ist der Abstand zwischen diesen Nullstellen, also $3a$ .
Da der Damm 15 m breit sein soll, gilt:
$3a = 15$ $a = 5$

STEP 4

Um zu zeigen, dass für $a = 4$ die Böschung auf der rechten Seite mit 45° auf den horizontalen Boden trifft, müssen wir die Steigung der Funktion an der rechten Nullstelle berechnen.
Zunächst berechnen wir die Ableitung von $f_a(x)$ :
$f'_a(x) = \frac{6ax - 3x^2}{144}$
Für $a = 4$ ist die rechte Nullstelle bei $x = 3a = 12$ .
Setzen wir dies in die Ableitung ein:
$f'_4(12) = \frac{6 \cdot 4 \cdot 12 - 3 \cdot 12^2}{144} = \frac{288 - 432}{144} = -1$
Die Steigung -1 entspricht einem Winkel von 45°.

STEP 5

Um den Wert von $a$ zu finden, bei dem der Deich 6 Meter hoch ist, müssen wir den Hochpunkt der Funktion bestimmen.
Der Hochpunkt liegt bei $x = 2a$ (dies können wir durch Nullsetzen der Ableitung beweisen).
Setzen wir dies in die Funktion ein:
$f_a(2a) = \frac{3a(2a)^2 - (2a)^3}{144} = \frac{12a^3 - 8a^3}{144} = \frac{4a^3}{144} = \frac{a^3}{36}$
Für eine Höhe von 6 Metern gilt also:
$\frac{a^3}{36} = 6$
$a^3 = 216$
$a = 6$

STEP 6

Um zu zeigen, dass die Hochpunkte auf dem Graphen von $g(x) = \frac{1}{288}x^3$ liegen, wählen wir zwei beliebige Werte für $a$ und berechnen die Koordinaten der Hochpunkte.
Für $a_1 = 4$ und $a_2 = 5$ :
Hochpunkt für $a_1 = 4$ : $(8, \frac{64}{36})$ Hochpunkt für $a_2 = 5$ : $(10, \frac{125}{36})$
Nun setzen wir diese x-Werte in $g(x)$ ein:
$g(8) = \frac{1}{288} \cdot 8^3 = \frac{512}{288} = \frac{64}{36}$ $g(10) = \frac{1}{288} \cdot 10^3 = \frac{1000}{288} = \frac{125}{36}$
Die y-Koordinaten stimmen überein, also liegen die Hochpunkte auf $G_g$ .

STEP 7

Um die Stelle des maximalen Anstiegs auf der linken Böschungsseite zu finden, müssen wir die zweite Ableitung von $f_a(x)$ nullsetzen:
$f''_a(x) = \frac{6a - 6x}{144} = 0$
$6a - 6x = 0$ $x = a$
Der maximale Anstieg tritt also bei $x = a$ auf.
Um den Wert von $a$ zu finden, bei dem dieser Anstieg 30° beträgt, setzen wir $x = a$ in die erste Ableitung ein und setzen diese gleich $\tan(30°)$ :
$f'_a(a) = \frac{6a^2 - 3a^2}{144} = \frac{3a^2}{144} = \tan(30°) = \frac{1}{\sqrt{3}}$
$\frac{3a^2}{144} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
$a^2 = \frac{48}{\sqrt{3}}$
$a = 4\sqrt[4]{3}$

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