Question$\text{دراسة اتجاه تغير الدالة } f(x) = x + 1 - \frac{2 e^{x}}{e^{x} + 1}$

Studdy Solution
دراسة إشارة المشتقة الأولى لتحديد اتجاه التغير:
بما أن المعادلة $0 = e^{2x} + 1$ لا تحتوي على حلول حقيقية، فإن المشتقة الأولى $f'(x)$ لا تساوي صفرًا لأي قيمة حقيقية لـ $x$.
نقوم بتحليل إشارة المشتقة:
$$f'(x) = 1 - \frac{2e^x}{(e^x + 1)^2}$$
نلاحظ أن $\frac{2e^x}{(e^x + 1)^2}$ دائمًا أقل من 1 لأن $(e^x + 1)^2 > 2e^x$.
إذن $f'(x) > 0$ دائمًا، مما يعني أن الدالة متزايدة على مجالها.
الدالة $f(x)$ متزايدة دائمًا.