Studdy AI Logo
Math  /  Calculus

Questionدراسة اتجاه تغير الدالة f(x)=x+1−2exex+1\text{دراسة اتجاه تغير الدالة } f(x) = x + 1 - \frac{2 e^{x}}{e^{x} + 1}

Studdy Solution

STEP 1

1. الدالة المعطاة هي f(x)=x+1−2exex+1 f(x) = x + 1 - \frac{2e^x}{e^x + 1} .
2. نحتاج إلى دراسة اتجاه تغير الدالة، وهذا يتضمن حساب المشتقة الأولى للدالة.
3. سنبحث عن النقاط التي تكون فيها المشتقة صفرًا أو غير معرفة لتحديد النقاط الحرجة.

STEP 2

1. حساب المشتقة الأولى للدالة f(x) f(x) .
2. إيجاد النقاط الحرجة من خلال حل المعادلة f′(x)=0 f'(x) = 0 .
3. دراسة إشارة المشتقة الأولى لتحديد اتجاه التغير.

STEP 3

حساب المشتقة الأولى للدالة f(x)=x+1−2exex+1 f(x) = x + 1 - \frac{2e^x}{e^x + 1} .
نبدأ بحساب المشتقة لكل جزء من الدالة:
f′(x)=ddx(x+1)−ddx(2exex+1) f'(x) = \frac{d}{dx}(x + 1) - \frac{d}{dx}\left(\frac{2e^x}{e^x + 1}\right)
المشتقة الأولى للجزء الأول x+1 x + 1 هي:
ddx(x+1)=1 \frac{d}{dx}(x + 1) = 1
الآن نستخدم قاعدة القسمة لحساب المشتقة للجزء الثاني:
ddx(2exex+1)=(ex+1)⋅(2ex)−2ex⋅(ex)(ex+1)2 \frac{d}{dx}\left(\frac{2e^x}{e^x + 1}\right) = \frac{(e^x + 1)\cdot(2e^x) - 2e^x\cdot(e^x)}{(e^x + 1)^2}
=2e2x+2ex−2e2x(ex+1)2 = \frac{2e^{2x} + 2e^x - 2e^{2x}}{(e^x + 1)^2}
=2ex(ex+1)2 = \frac{2e^x}{(e^x + 1)^2}
إذن:
f′(x)=1−2ex(ex+1)2 f'(x) = 1 - \frac{2e^x}{(e^x + 1)^2}

STEP 4

إيجاد النقاط الحرجة من خلال حل المعادلة f′(x)=0 f'(x) = 0 :
1−2ex(ex+1)2=0 1 - \frac{2e^x}{(e^x + 1)^2} = 0
نحل المعادلة:
2ex(ex+1)2=1 \frac{2e^x}{(e^x + 1)^2} = 1
2ex=(ex+1)2 2e^x = (e^x + 1)^2
نقوم بتوسيع الطرف الأيمن:
2ex=e2x+2ex+1 2e^x = e^{2x} + 2e^x + 1
نطرح 2ex 2e^x من كلا الجانبين:
0=e2x+1 0 = e^{2x} + 1
هذه المعادلة لا تحتوي على حلول حقيقية لأن e2x e^{2x} دائمًا موجب و +1 +1 يجعلها دائمًا أكبر من الصفر.

STEP 5

دراسة إشارة المشتقة الأولى لتحديد اتجاه التغير:
بما أن المعادلة 0=e2x+1 0 = e^{2x} + 1 لا تحتوي على حلول حقيقية، فإن المشتقة الأولى f′(x) f'(x) لا تساوي صفرًا لأي قيمة حقيقية لـ x x .
نقوم بتحليل إشارة المشتقة:
f′(x)=1−2ex(ex+1)2 f'(x) = 1 - \frac{2e^x}{(e^x + 1)^2}
نلاحظ أن 2ex(ex+1)2 \frac{2e^x}{(e^x + 1)^2} دائمًا أقل من 1 لأن (ex+1)2>2ex (e^x + 1)^2 > 2e^x .
إذن f′(x)>0 f'(x) > 0 دائمًا، مما يعني أن الدالة متزايدة على مجالها.
الدالة f(x) f(x) متزايدة دائمًا.

Was this helpful?

Studdy solves anything!

banner

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

ParentsInfluencer programContactPolicyTerms
TwitterInstagramFacebookTikTokDiscord