Studdy AI Logo
Math  /  Discrete

QuestionЗдесь всюоду A,B,…A, B, \ldots, это какие-то непустые подмножества на прямой R\mathbb{R}. (1) Используя лишь определение компактности доказите, что (a) прямая R\mathbb{R} не компактна,

Studdy Solution

STEP 1

1. Мы работаем с определением компактности в терминах покрытий.
2. Прямая R\mathbb{R} является множеством всех действительных чисел.
3. Компактное множество — это множество, из любого открытого покрытия которого можно выделить конечное подпокрытие.

STEP 2

1. Определить, что такое открытое покрытие для R\mathbb{R}.
2. Показать, что не существует конечного подпокрытия для R\mathbb{R}.

STEP 3

Определим открытое покрытие для R\mathbb{R}. Рассмотрим семейство открытых интервалов:
{(−n,n)∣n∈N} \{ (-n, n) \mid n \in \mathbb{N} \}
где N\mathbb{N} — множество всех натуральных чисел. Это покрытие, так как для любого x∈Rx \in \mathbb{R} существует интервал (−n,n)(-n, n), содержащий xx.

STEP 4

Докажем, что не существует конечного подпокрытия для R\mathbb{R}. Предположим, что существует конечное подпокрытие {(−n1,n1),(−n2,n2),…,(−nk,nk)}\{ (-n_1, n_1), (-n_2, n_2), \ldots, (-n_k, n_k) \}.
Пусть N=max⁡(n1,n2,…,nk)N = \max(n_1, n_2, \ldots, n_k). Тогда это конечное подпокрытие покрывает только интервал (−N,N)(-N, N), но не всю прямую R\mathbb{R}, так как существуют числа, например, N+1N+1, которые не входят в этот интервал.

STEP 5

Таким образом, мы показали, что любое конечное подпокрытие не может покрыть всю прямую R\mathbb{R}. Следовательно, R\mathbb{R} не является компактным множеством.

Was this helpful?

Studdy solves anything!

banner

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

ParentsInfluencer programContactPolicyTerms
TwitterInstagramFacebookTikTokDiscord