QuestionЗадача 3: К35.1 Выяснить, являются ли подпространства соответствующего векторного пространства каждая из следующих совокупностей векторов: (1) векторы плоскости с началом в $O$, концы которых не лежат на данной прямой (2) векторы пространства $\mathbb{R}^{n}$, координаты которых - целые числа

STEP 1

STEP 2

Проверяем, является ли множество векторов плоскости с началом в $O$, концы которых не лежат на данной прямой, подпространством.
1.1. Проверяем наличие нулевого вектора. Нулевой вектор имеет координаты $(0, 0)$ и лежит на любой прямой, следовательно, он не может быть частью множества векторов, концы которых не лежат на данной прямой.

STEP 3

1.2. Проверяем замкнутость относительно сложения. Если два вектора не лежат на данной прямой, их сумма может лежать на этой прямой, что нарушает условие замкнутости.

STEP 4

1.3. Проверяем замкнутость относительно умножения на скаляр. Умножение вектора, не лежащего на прямой, на скаляр может привести к вектору, лежащему на прямой.

STEP 5

Вывод: Множество векторов, концы которых не лежат на данной прямой, не является подпространством.

STEP 6

Проверяем, является ли множество векторов пространства $\mathbb{R}^{n}$, координаты которых - целые числа, подпространством.
2.1. Проверяем наличие нулевого вектора. Нулевой вектор $(0, 0, \ldots, 0)$ имеет целые координаты и принадлежит этому множеству.

STEP 7

2.2. Проверяем замкнутость относительно сложения. Сумма двух векторов с целыми координатами также имеет целые координаты.

STEP 8

2.3. Проверяем замкнутость относительно умножения на скаляр. Умножение на целый скаляр сохраняет целочисленность координат, но умножение на нецелый скаляр может привести к нецелым координатам.

STEP 9

Вывод: Множество векторов с целыми координатами не является подпространством, так как не замкнуто относительно умножения на произвольный скаляр.