Studdy AI Logo
Math  /  Calculus

Question∫sin⁡3xcos⁡2xdx=\int \sin ^{3} x \cos ^{2} x d x=

Studdy Solution

STEP 1

1. Integral yang diberikan adalah integral tak tentu.
2. Kita akan menggunakan substitusi trigonometri untuk menyederhanakan integral.

STEP 2

1. Gunakan identitas trigonometri untuk menyederhanakan ekspresi.
2. Terapkan substitusi yang sesuai.
3. Selesaikan integral.
4. Kembalikan ke variabel asli.

STEP 3

Gunakan identitas trigonometri untuk menyederhanakan ekspresi. Kita tahu bahwa:
sin⁡2x=1−cos⁡2x\sin^2 x = 1 - \cos^2 x
Sehingga, kita dapat menulis ulang sin⁡3x\sin^3 x sebagai:
sin⁡3x=sin⁡x⋅sin⁡2x=sin⁡x(1−cos⁡2x)\sin^3 x = \sin x \cdot \sin^2 x = \sin x (1 - \cos^2 x)
Maka, integral menjadi:
∫sin⁡x(1−cos⁡2x)cos⁡2x dx\int \sin x (1 - \cos^2 x) \cos^2 x \, dx

STEP 4

Terapkan substitusi. Misalkan u=cos⁡x u = \cos x , maka du=−sin⁡x dx du = -\sin x \, dx atau sin⁡x dx=−du \sin x \, dx = -du .
Substitusi ke dalam integral:
∫sin⁡x(1−u2)u2(−du)\int \sin x (1 - u^2) u^2 (-du)
=−∫(1−u2)u2 du= -\int (1 - u^2) u^2 \, du
=−∫(u2−u4) du= -\int (u^2 - u^4) \, du

STEP 5

Selesaikan integral:
−∫(u2−u4) du=−(∫u2 du−∫u4 du)- \int (u^2 - u^4) \, du = -\left( \int u^2 \, du - \int u^4 \, du \right)
=−(u33−u55)+C= -\left( \frac{u^3}{3} - \frac{u^5}{5} \right) + C
=−u33+u55+C= -\frac{u^3}{3} + \frac{u^5}{5} + C

STEP 6

Kembalikan ke variabel asli x x . Ingat bahwa u=cos⁡x u = \cos x :
=−(cos⁡x)33+(cos⁡x)55+C= -\frac{(\cos x)^3}{3} + \frac{(\cos x)^5}{5} + C
=−cos⁡3x3+cos⁡5x5+C= -\frac{\cos^3 x}{3} + \frac{\cos^5 x}{5} + C
Solusi dari integral tersebut adalah:
−cos⁡3x3+cos⁡5x5+C\boxed{-\frac{\cos^3 x}{3} + \frac{\cos^5 x}{5} + C}

Was this helpful?

Studdy solves anything!

banner

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

ParentsInfluencer programContactPolicyTerms
TwitterInstagramFacebookTikTokDiscord