Math / Calculus

Question $\int e^{\sin (x)} \times \cos (x) d x$

Studdy Solution

STEP 1

1. L'integrale da risolvere è $\int e^{\sin(x)} \cos(x) \, dx$ .
2. Useremo la sostituzione per semplificare l'integrale.

STEP 2

1. Identificare una sostituzione adatta.
2. Sostituire e riscrivere l'integrale.
3. Risolvere l'integrale.
4. Tornare alla variabile originale.

STEP 3

Identificare una sostituzione adatta. Notiamo che la derivata di $\sin(x)$ è $\cos(x)$ , quindi possiamo usare la sostituzione:
Poniamo $u = \sin(x)$ .
Calcoliamo la derivata: $du = \cos(x) \, dx$ .

STEP 4

Sostituire e riscrivere l'integrale utilizzando la sostituzione trovata:
L'integrale diventa:
$\int e^{\sin(x)} \cos(x) \, dx = \int e^u \, du$

STEP 5

Risolvere l'integrale nella variabile $u$ :
$\int e^u \, du = e^u + C$
dove $C$ è la costante di integrazione.

STEP 6

Tornare alla variabile originale $x$ sostituendo $u = \sin(x)$ :
$e^u + C = e^{\sin(x)} + C$
La soluzione dell'integrale è:
$e^{\sin(x)} + C$

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Question $\int e^{\sin (x)} \times \cos (x) d x$

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STEP 1

1. L'integrale da risolvere è $\int e^{\sin(x)} \cos(x) \, dx$ .
2. Useremo la sostituzione per semplificare l'integrale.

STEP 2

1. Identificare una sostituzione adatta.
2. Sostituire e riscrivere l'integrale.
3. Risolvere l'integrale.
4. Tornare alla variabile originale.

STEP 3

Identificare una sostituzione adatta. Notiamo che la derivata di $\sin(x)$ è $\cos(x)$ , quindi possiamo usare la sostituzione:
Poniamo $u = \sin(x)$ .
Calcoliamo la derivata: $du = \cos(x) \, dx$ .

STEP 4

Sostituire e riscrivere l'integrale utilizzando la sostituzione trovata:
L'integrale diventa:
$\int e^{\sin(x)} \cos(x) \, dx = \int e^u \, du$

STEP 5

Risolvere l'integrale nella variabile $u$ :
$\int e^u \, du = e^u + C$
dove $C$ è la costante di integrazione.

STEP 6

Tornare alla variabile originale $x$ sostituendo $u = \sin(x)$ :
$e^u + C = e^{\sin(x)} + C$
La soluzione dell'integrale è:
$e^{\sin(x)} + C$

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Question∫esin⁡(x)×cos⁡(x)dx\int e^{\sin (x)} \times \cos (x) d x∫esin(x)×cos(x)dx

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STEP 1

1. L'integrale da risolvere è ∫esin⁡(x)cos⁡(x) dx\int e^{\sin(x)} \cos(x) \, dx∫esin(x)cos(x)dx.2. Useremo la sostituzione per semplificare l'integrale.

STEP 2

1. Identificare una sostituzione adatta.2. Sostituire e riscrivere l'integrale.3. Risolvere l'integrale.4. Tornare alla variabile originale.

STEP 3

Identificare una sostituzione adatta. Notiamo che la derivata di sin⁡(x)\sin(x)sin(x) è cos⁡(x)\cos(x)cos(x), quindi possiamo usare la sostituzione:Poniamo u=sin⁡(x)u = \sin(x)u=sin(x).Calcoliamo la derivata: du=cos⁡(x) dxdu = \cos(x) \, dxdu=cos(x)dx.

STEP 4

Sostituire e riscrivere l'integrale utilizzando la sostituzione trovata:L'integrale diventa:∫esin⁡(x)cos⁡(x) dx=∫eu du\int e^{\sin(x)} \cos(x) \, dx = \int e^u \, du∫esin(x)cos(x)dx=∫eudu

STEP 5

Risolvere l'integrale nella variabile uuu:∫eu du=eu+C\int e^u \, du = e^u + C∫eudu=eu+Cdove CCC è la costante di integrazione.

STEP 6

Tornare alla variabile originale xxx sostituendo u=sin⁡(x)u = \sin(x)u=sin(x):eu+C=esin⁡(x)+Ce^u + C = e^{\sin(x)} + Ceu+C=esin(x)+C La soluzione dell'integrale è:esin⁡(x)+Ce^{\sin(x)} + Cesin(x)+C

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Question $\int e^{\sin (x)} \times \cos (x) d x$

1. L'integrale da risolvere è $\int e^{\sin(x)} \cos(x) \, dx$ .
2. Useremo la sostituzione per semplificare l'integrale.

1. Identificare una sostituzione adatta.
2. Sostituire e riscrivere l'integrale.
3. Risolvere l'integrale.
4. Tornare alla variabile originale.

Identificare una sostituzione adatta. Notiamo che la derivata di $\sin(x)$ è $\cos(x)$ , quindi possiamo usare la sostituzione:
Poniamo $u = \sin(x)$ .
Calcoliamo la derivata: $du = \cos(x) \, dx$ .

Sostituire e riscrivere l'integrale utilizzando la sostituzione trovata:
L'integrale diventa:
$\int e^{\sin(x)} \cos(x) \, dx = \int e^u \, du$

Risolvere l'integrale nella variabile $u$ :
$\int e^u \, du = e^u + C$
dove $C$ è la costante di integrazione.

Tornare alla variabile originale $x$ sostituendo $u = \sin(x)$ :
$e^u + C = e^{\sin(x)} + C$
La soluzione dell'integrale è:
$e^{\sin(x)} + C$