Studdy AI Logo
Math  /  Calculus

Question∑n=1∞2n(n−1)!\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{(n-1)!}

Studdy Solution

STEP 1

What is this asking? Нам нужно найти сумму бесконечного ряда, где каждый член представляет собой дробь с 22 в степени nn в числителе и факториалом n−1n-1 в знаменателе. Watch out! Не забывайте, что 0!=10! = 1!
Это очень важно для правильного вычисления первого члена ряда.

STEP 2

1. Преобразовать ряд
2. Вычислить сумму

STEP 3

Давайте **внимательно** посмотрим на общий член ряда: 2n(n−1)!\frac{2^n}{(n-1)!}.
Хмм, немного неудобно работать с n−1n-1 в знаменателе.
Давайте сделаем **замену переменной**: пусть k=n−1k = n - 1.

STEP 4

Если k=n−1k = n - 1, то n=k+1n = k + 1. **Подставим** это в наш общий член ряда: 2k+1(k+1−1)!=2k+1k!\frac{2^{k+1}}{(k+1-1)!} = \frac{2^{k+1}}{k!}. **Супер!**

STEP 5

Теперь, когда nn меняется от 11 до ∞\infty, kk меняется от 1−1=01-1=0 до ∞\infty.
Таким образом, наш ряд **преобразуется** в: ∑k=0∞2k+1k! \sum_{k=0}^{\infty} \frac{2^{k+1}}{k!}

STEP 6

Мы можем **вынести** множитель 22 из числителя: ∑k=0∞2⋅2kk!=2∑k=0∞2kk! \sum_{k=0}^{\infty} \frac{2 \cdot 2^k}{k!} = 2 \sum_{k=0}^{\infty} \frac{2^k}{k!} **Отлично!** Теперь наш ряд выглядит гораздо приятнее.

STEP 7

Вспомним **разложение** экспоненциальной функции в ряд Тейлора: ex=∑k=0∞xkk! e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} Это **ключевая формула**, которая нам поможет!

STEP 8

В нашем случае x=2x = 2, поэтому мы можем **записать**: ∑k=0∞2kk!=e2 \sum_{k=0}^{\infty} \frac{2^k}{k!} = e^2

STEP 9

**Подставим** это в наше выражение для суммы ряда: 2∑k=0∞2kk!=2e2 2 \sum_{k=0}^{\infty} \frac{2^k}{k!} = 2e^2 **Вот и всё!**

STEP 10

Сумма ряда равна 2e22e^2.

Was this helpful?

Studdy solves anything!

banner

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

ParentsInfluencer programContactPolicyTerms
TwitterInstagramFacebookTikTokDiscord