Math / Calculus

Question $\int_{0}^{1} \int_{0}^{y^{2}} \sqrt{1+y^{3}} d x d y$

Studdy Solution

STEP 1

1. La integral dada es una integral doble.
2. La región de integración está definida por $0 \leq x \leq y^2$ y $0 \leq y \leq 1$ .
3. La función a integrar es $\sqrt{1+y^3}$ .

STEP 2

1. Evaluar la integral interna con respecto a $x$ .
2. Evaluar la integral externa con respecto a $y$ .

STEP 3

Evaluar la integral interna con respecto a $x$ . La integral interna es:
$\int_{0}^{y^{2}} \sqrt{1+y^{3}} \, dx$
Dado que $\sqrt{1+y^{3}}$ es constante con respecto a $x$ , la integral se convierte en:
$\sqrt{1+y^{3}} \int_{0}^{y^{2}} \, dx$
La integral de $dx$ desde 0 hasta $y^2$ es simplemente $y^2$ :
$\sqrt{1+y^{3}} \cdot y^2$

STEP 4

Evaluar la integral externa con respecto a $y$ . Ahora integramos:
$\int_{0}^{1} y^2 \sqrt{1+y^{3}} \, dy$
Para resolver esta integral, podemos usar un cambio de variable. Sea $u = 1 + y^3$ , entonces $du = 3y^2 \, dy$ o $y^2 \, dy = \frac{1}{3} \, du$ .
Los límites de $y$ de 0 a 1 se convierten en límites de $u$ de 1 a 2.
La integral se convierte en:
$\int_{1}^{2} \frac{1}{3} \sqrt{u} \, du$

STEP 5

Evaluar la integral con respecto a $u$ :
$\frac{1}{3} \int_{1}^{2} u^{1/2} \, du$
La integral de $u^{1/2}$ es $\frac{2}{3} u^{3/2}$ . Evaluamos esto desde 1 hasta 2:
$\frac{1}{3} \left[ \frac{2}{3} u^{3/2} \right]_{1}^{2}$
$= \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} \left[ (2)^{3/2} - (1)^{3/2} \right]$
$= \frac{2}{9} \left[ 2\sqrt{2} - 1 \right]$
La solución de la integral es:
$\boxed{\frac{2}{9} (2\sqrt{2} - 1)}$

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