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Math  /  Algebra

Question(23−2)⋅(23−12)\left(\frac{2}{\sqrt{3}-2}\right) \cdot\left(\frac{2 \sqrt{3}-1}{2}\right)

Studdy Solution

STEP 1

Qu'est-ce qu'on nous demande ? Simplifier une expression avec des fractions et des racines carrées. Attention ! Ne pas oublier de rationaliser le dénominateur !

STEP 2

1. Rationaliser le dénominateur
2. Multiplier les fractions
3. Simplifier l'expression

STEP 3

On a une fraction avec une racine carrée au dénominateur, ce qui n'est pas très joli !
On va donc **rationaliser le dénominateur** de (23−2)\left(\frac{2}{\sqrt{3}-2}\right).
Pour cela, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur, qui est 3+2\sqrt{3}+2.
C’est comme multiplier par 1, donc ça ne change pas la valeur de la fraction, mais ça va nous aider à simplifier !

STEP 4

23−2⋅3+23+2=2(3+2)(3−2)(3+2) \frac{2}{\sqrt{3}-2} \cdot \frac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{3}+2} = \frac{2(\sqrt{3}+2)}{(\sqrt{3}-2)(\sqrt{3}+2)} On a multiplié le numérateur et le dénominateur par 3+2\sqrt{3}+2.

STEP 5

On utilise l'identité remarquable (a−b)(a+b)=a2−b2(a-b)(a+b) = a^2 - b^2 pour simplifier le dénominateur.
Ici, a=3a = \sqrt{3} et b=2b = 2. 2(3+2)(3)2−22=2(3+2)3−4=2(3+2)−1=−2(3+2) \frac{2(\sqrt{3}+2)}{(\sqrt{3})^2 - 2^2} = \frac{2(\sqrt{3}+2)}{3 - 4} = \frac{2(\sqrt{3}+2)}{-1} = -2(\sqrt{3}+2) Super ! On a **rationalisé** le dénominateur !

STEP 6

Maintenant, on peut remplacer la première fraction par sa forme simplifiée et multiplier les deux fractions : −2(3+2)⋅(23−12) -2(\sqrt{3}+2) \cdot \left(\frac{2\sqrt{3}-1}{2}\right)

STEP 7

On peut simplifier en divisant −2-2 et 22 par 22.
On obtient −1-1 et 11 respectivement. −1(3+2)⋅(23−1)=−(3+2)(23−1) -1(\sqrt{3}+2) \cdot (2\sqrt{3}-1) = -(\sqrt{3}+2)(2\sqrt{3}-1)

STEP 8

On développe le produit en utilisant la distributivité : −(3⋅23−3⋅1+2⋅23−2⋅1) -(\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 1 + 2 \cdot 2\sqrt{3} - 2 \cdot 1)

STEP 9

On simplifie : −(2⋅3−3+43−2)=−(6−2+33)=−(4+33)=−4−33 -(2 \cdot 3 - \sqrt{3} + 4\sqrt{3} - 2) = -(6 - 2 + 3\sqrt{3}) = -(4 + 3\sqrt{3}) = -4 - 3\sqrt{3}

STEP 10

L'expression simplifiée est −4−33-4 - 3\sqrt{3}.

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