Studdy AI Logo
Math  /  Algebra

Questionx=(2,4,−3),y=(0,1,1),z=(0,1,−1)x=(2,4,-3), y=(0,1,1), z=(0,1,-1) vektörlerinden oluşar sistemin R3\mathbb{R}^{3} ün bir bazı olup olmadığını araştırınız.

Studdy Solution

STEP 1

Bu ne istiyor? Bu problem, x=(2,4,−3) x = (2,4,-3) , y=(0,1,1) y = (0,1,1) ve z=(0,1,−1) z = (0,1,-1) vektörlerinin R3\mathbb{R}^{3} uzayının bir bazı olup olmadığını kontrol etmemizi istiyor. Dikkat et! Vektörlerin lineer bağımsız olup olmadığını kontrol ederken, determinantı sıfır olmayan bir matris oluşturduğumuzdan emin olmalıyız!

STEP 2

1. Matris oluştur
2. Determinantı hesapla
3. Lineer bağımsızlığı kontrol et

STEP 3

Öncelikle, vektörleri bir matrisin satırları veya sütunları olarak yazalım.
Burada sütun vektörleri olarak yazmayı tercih edelim:
A=[200411−31−1]A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 4 & 1 & 1 \\ -3 & 1 & -1 \end{bmatrix}
Bu matris, vektörlerimizin R3\mathbb{R}^{3} uzayında bir bazı oluşturup oluşturmadığını kontrol etmemize yardımcı olacak.

STEP 4

Şimdi, bu matrisin determinantını hesaplayalım.
Determinant, vektörlerin lineer bağımsız olup olmadığını belirleyecek.
Eğer determinant sıfırdan farklıysa, vektörler lineer bağımsızdır ve bir bazı oluşturur.
det(A)=∣200411−31−1∣\text{det}(A) = \begin{vmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 4 & 1 & 1 \\ -3 & 1 & -1 \end{vmatrix}

STEP 5

Determinantı hesaplamak için, birinci sütunu kullanarak genişletelim:
det(A)=2⋅∣111−1∣−0⋅∣41−3−1∣+0⋅∣41−31∣\text{det}(A) = 2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} - 0 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ -3 & -1 \end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ -3 & 1 \end{vmatrix}

STEP 6

İlk minör determinantı hesaplayalım:
∣111−1∣=(1⋅−1)−(1⋅1)=−1−1=−2\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = (1 \cdot -1) - (1 \cdot 1) = -1 - 1 = -2

STEP 7

Sonuç olarak, determinant:
det(A)=2⋅(−2)=−4\text{det}(A) = 2 \cdot (-2) = -4

STEP 8

Determinant −4-4 olduğu için, bu sıfırdan farklıdır.
Bu da demek oluyor ki, vektörler lineer bağımsızdır ve R3\mathbb{R}^{3} uzayında bir bazı oluştururlar!

STEP 9

Vektörler x=(2,4,−3) x = (2,4,-3) , y=(0,1,1) y = (0,1,1) ve z=(0,1,−1) z = (0,1,-1) , R3\mathbb{R}^{3} uzayının bir bazı oluşturur çünkü determinantları −4-4 olup sıfırdan farklıdır.

Was this helpful?

Studdy solves anything!

banner

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

ParentsInfluencer programContactPolicyTerms
TwitterInstagramFacebookTikTokDiscord