Math  /  Calculus

QuestionWhich of the following statements are TRUE? Select all that apply. An antiderivative of a linear function is a linear function. The most general antiderivative of f(x)=2ex+16x3+3f(x)=2 e^{x}+16 x^{3}+3 is given by F(x)=2ex+4x4+3x+CF(x)=2 e^{x}+4 x^{4}+3 x+C. An antiderivative of f(x)=3sinxf(x)=3 \sin x is F(x)=3cosx+2πF(x)=-3 \cos x+2 \pi 2x36x2dx=x23x2x3+C\int \frac{2 x-3}{6 x^{2}} d x=\frac{x^{2}-3 x}{2 x^{3}}+C If F(x)F(x) is an antiderivative of f(x)f(x) and G(x)G(x) is an antiderivative of g(x)g(x), then: (f(x)+g(x))dx=F(x)+G(x)+C\int(f(x)+g(x)) d x=F(x)+G(x)+C If F(x)F(x) is an antiderivative of f(x)f(x), then: xf(x)dx=xF(x)+C\int x f(x) d x=x F(x)+C If F(x)F(x) is an antiderivative of f(x)f(x) and G(x)G(x) s an antiderivative of g(x)g(x), then:

Studdy Solution

STEP 1

这是什么意思? 我们需要判断哪些关于不定积分和反导数的陈述是正确的。 注意! 不定积分不要忘记 +C+C 哦!小心别被一些常见的误导性陈述迷惑了。

STEP 2

1. 线性函数的反导数
2. f(x)=2ex+16x3+3f(x) = 2e^x + 16x^3 + 3 的最一般反导数
3. f(x)=3sinxf(x) = 3\sin x 的一个反导数
4. 2x36x2dx\int \frac{2x-3}{6x^2} dx 的计算
5. (f(x)+g(x))dx\int (f(x) + g(x)) dx 的计算
6. xf(x)dx\int xf(x) dx 的计算

STEP 3

线性函数的形式是 ax+bax + b,其中 aabb 是常数。

STEP 4

它的反导数是 (ax+b)dx=12ax2+bx+C\int (ax + b) dx = \frac{1}{2}ax^2 + bx + C。这是一个二次函数,而不是线性函数。

STEP 5

所以,这个陈述是**错误的**。

STEP 6

exe^x 的反导数就是它本身,xnx^n 的反导数是 xn+1n+1\frac{x^{n+1}}{n+1},常数 cc 的反导数是 cxcx

STEP 7

因此,(2ex+16x3+3)dx=2ex+16x44+3x+C=2ex+4x4+3x+C\int (2e^x + 16x^3 + 3) dx = 2e^x + 16 \cdot \frac{x^4}{4} + 3x + C = 2e^x + 4x^4 + 3x + C

STEP 8

所以,这个陈述是**正确的**。

STEP 9

sinx\sin x 的反导数是 cosx-\cos x

STEP 10

因此,3sinx3\sin x 的一个反导数是 3cosx+C-3\cos x + C,其中 CC 是任意常数。

STEP 11

题目给出的 3cosx+2π-3\cos x + 2\pi 也是一个反导数,因为 2π2\pi 是一个常数。

STEP 12

所以,这个陈述是**正确的**。

STEP 13

我们可以把被积函数拆开:2x36x2dx=(2x6x236x2)dx=(13x12x2)dx\int \frac{2x-3}{6x^2} dx = \int (\frac{2x}{6x^2} - \frac{3}{6x^2}) dx = \int (\frac{1}{3x} - \frac{1}{2x^2}) dx

STEP 14

然后,(13x12x2)dx=13lnx+12x+C\int (\frac{1}{3x} - \frac{1}{2x^2}) dx = \frac{1}{3} \ln|x| + \frac{1}{2x} + C

STEP 15

所以,这个陈述是**错误的**。

STEP 16

积分的线性性质告诉我们,(f(x)+g(x))dx=f(x)dx+g(x)dx\int (f(x) + g(x)) dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx

STEP 17

如果 F(x)F(x)f(x)f(x) 的反导数,G(x)G(x)g(x)g(x) 的反导数,那么 f(x)dx=F(x)+C1\int f(x) dx = F(x) + C_1 以及 g(x)dx=G(x)+C2\int g(x) dx = G(x) + C_2

STEP 18

因此,(f(x)+g(x))dx=F(x)+C1+G(x)+C2=F(x)+G(x)+C\int (f(x) + g(x)) dx = F(x) + C_1 + G(x) + C_2 = F(x) + G(x) + C,其中 C=C1+C2C = C_1 + C_2 是一个常数。

STEP 19

所以,这个陈述是**正确的**。

STEP 20

分部积分法告诉我们 udv=uvvdu\int u dv = uv - \int v du

STEP 21

题目中的陈述并不总是正确的。例如,如果 f(x)=1f(x) = 1,那么 F(x)=xF(x) = xxf(x)dx=xdx=12x2+C\int xf(x) dx = \int x dx = \frac{1}{2}x^2 + C,而 xF(x)+C=x2+CxF(x) + C = x^2 + C

STEP 22

所以,这个陈述是**错误的**。

STEP 23

正确的陈述是第二个、第三个和第五个。

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