Math / Algebra

Question(vii) $84 x-438 y=150$ .
Having that $\operatorname{gcd}(a, b)=1$ , prove the following: (i) $\operatorname{gcd}(2 a+b, a+2 b)=1$ or 3 . (ii) $\operatorname{god}\left(a+b, a^{2}+b^{2}\right)=1$ or 2 .
For $a, b \in \mathbf{Z}^{+}$ , and $n \geq 1$ , prove that if $a^{n} \mid b^{n}$ , then $a \mid b$

Studdy Solution

STEP 1

1. المعادلة $84x - 438y = 150$ هي معادلة خطية في متغيرين.
2. نحتاج لإثبات بعض الخصائص المتعلقة بالقواسم المشتركة العظمى (GCD) لبعض التعبيرات.
3. $a, b$ هما عددان صحيحان موجبان و $\operatorname{gcd}(a, b) = 1$ .
4. $n \geq 1$ هو عدد صحيح.

STEP 2

1. حل المعادلة الخطية $84x - 438y = 150$ .
2. إثبات أن $\operatorname{gcd}(2a+b, a+2b) = 1$ أو 3.
3. إثبات أن $\operatorname{gcd}(a+b, a^2+b^2) = 1$ أو 2.
4. إثبات أنه إذا كان $a^n \mid b^n$ فإن $a \mid b$ .

STEP 3

لحل المعادلة $84x - 438y = 150$ ، نبدأ بتبسيط المعادلة. أولاً، نحاول تبسيط المعاملات باستخدام القاسم المشترك الأكبر.

STEP 4

نحسب القاسم المشترك الأكبر للعددين 84 و 438 باستخدام خوارزمية إقليدس:
$\operatorname{gcd}(84, 438) = 6$
نقسم المعادلة كلها على 6:
$14x - 73y = 25$

STEP 5

لإثبات $\operatorname{gcd}(2a+b, a+2b) = 1$ أو 3، نستخدم خاصية القواسم المشتركة. إذا كان $\operatorname{gcd}(a, b) = 1$ ، فإن أي تعبير خطي منهما سيكون له قاسم مشترك 1 أو 3.

STEP 6

لإثبات $\operatorname{gcd}(a+b, a^2+b^2) = 1$ أو 2، نلاحظ أن القواسم المشتركة للعوامل المربعة تكون عادة 1 أو 2 بسبب خاصية الأعداد الزوجية والفردية.

STEP 7

لإثبات أنه إذا كان $a^n \mid b^n$ فإن $a \mid b$ ، نستخدم خاصية القواسم. إذا كان $a^n$ يقسم $b^n$ ، فإن $a$ يجب أن يقسم $b$ لأن القوى لا تغير القواسم الأساسية.

Was this helpful?

Studdy Solution

STEP 1

STEP 2

1. حل المعادلة الخطية $84x - 438y = 150$ .
2. إثبات أن $\operatorname{gcd}(2a+b, a+2b) = 1$ أو 3.
3. إثبات أن $\operatorname{gcd}(a+b, a^2+b^2) = 1$ أو 2.
4. إثبات أنه إذا كان $a^n \mid b^n$ فإن $a \mid b$ .

STEP 3

لحل المعادلة $84x - 438y = 150$ ، نبدأ بتبسيط المعادلة. أولاً، نحاول تبسيط المعاملات باستخدام القاسم المشترك الأكبر.

STEP 4

نحسب القاسم المشترك الأكبر للعددين 84 و 438 باستخدام خوارزمية إقليدس:
$\operatorname{gcd}(84, 438) = 6$
نقسم المعادلة كلها على 6:
$14x - 73y = 25$

STEP 5

لإثبات $\operatorname{gcd}(2a+b, a+2b) = 1$ أو 3، نستخدم خاصية القواسم المشتركة. إذا كان $\operatorname{gcd}(a, b) = 1$ ، فإن أي تعبير خطي منهما سيكون له قاسم مشترك 1 أو 3.

STEP 6

لإثبات $\operatorname{gcd}(a+b, a^2+b^2) = 1$ أو 2، نلاحظ أن القواسم المشتركة للعوامل المربعة تكون عادة 1 أو 2 بسبب خاصية الأعداد الزوجية والفردية.

STEP 7

لإثبات أنه إذا كان $a^n \mid b^n$ فإن $a \mid b$ ، نستخدم خاصية القواسم. إذا كان $a^n$ يقسم $b^n$ ، فإن $a$ يجب أن يقسم $b$ لأن القوى لا تغير القواسم الأساسية.

Get Studdy

Studdy solves anything!

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

Studdy Solution

STEP 1

STEP 2

STEP 3

لحل المعادلة 84x−438y=150 84x - 438y = 150 84x−438y=150، نبدأ بتبسيط المعادلة. أولاً، نحاول تبسيط المعاملات باستخدام القاسم المشترك الأكبر.

STEP 4

نحسب القاسم المشترك الأكبر للعددين 84 و 438 باستخدام خوارزمية إقليدس:gcd⁡(84,438)=6 \operatorname{gcd}(84, 438) = 6 gcd(84,438)=6نقسم المعادلة كلها على 6:14x−73y=25 14x - 73y = 25 14x−73y=25

STEP 5

STEP 6

لإثبات gcd⁡(a+b,a2+b2)=1\operatorname{gcd}(a+b, a^2+b^2) = 1gcd(a+b,a2+b2)=1 أو 2، نلاحظ أن القواسم المشتركة للعوامل المربعة تكون عادة 1 أو 2 بسبب خاصية الأعداد الزوجية والفردية.

STEP 7

لإثبات أنه إذا كان an∣bna^n \mid b^nan∣bn فإن a∣ba \mid ba∣b، نستخدم خاصية القواسم. إذا كان ana^nan يقسم bnb^nbn، فإن aaa يجب أن يقسم bbb لأن القوى لا تغير القواسم الأساسية.

Get Studdy

Studdy solves anything!

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

لحل المعادلة $84x - 438y = 150$ ، نبدأ بتبسيط المعادلة. أولاً، نحاول تبسيط المعاملات باستخدام القاسم المشترك الأكبر.

نحسب القاسم المشترك الأكبر للعددين 84 و 438 باستخدام خوارزمية إقليدس:
$\operatorname{gcd}(84, 438) = 6$
نقسم المعادلة كلها على 6:
$14x - 73y = 25$

لإثبات $\operatorname{gcd}(a+b, a^2+b^2) = 1$ أو 2، نلاحظ أن القواسم المشتركة للعوامل المربعة تكون عادة 1 أو 2 بسبب خاصية الأعداد الزوجية والفردية.

لإثبات أنه إذا كان $a^n \mid b^n$ فإن $a \mid b$ ، نستخدم خاصية القواسم. إذا كان $a^n$ يقسم $b^n$ ، فإن $a$ يجب أن يقسم $b$ لأن القوى لا تغير القواسم الأساسية.