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QuestionEncuentra el valor mínimo de xx en la inecuación: (x−1)2+(x−2)2≤x2+x−1(x-1)^{2}+(x-2)^{2} \leq x^{2}+x-1. Opciones: a. -1, b. 0, c. 1, d. 2.

Studdy Solution

STEP 1

Suposiciones1. La inecuación dada es (x−1)+(x−)≤x+x−1(x-1)^{}+(x-)^{} \leq x^{}+x-1 . Necesitamos encontrar el menor valor que puede tomar " xx " en la inecuación

STEP 2

Primero, expandamos los términos cuadrados en la inecuación.
(x−1)2=x2−2x+1(x-1)^{2} = x^{2} -2x +1(x−2)2=x2−4x+4(x-2)^{2} = x^{2} -4x +4

STEP 3

Ahora, sustituyamos estos valores en la inecuación original.
x2−2x+1+x2−x+≤x2+x−1x^{2} -2x +1 + x^{2} -x + \leq x^{2}+x-1

STEP 4

implifiquemos la inecuación sumando los términos similares.
2x2−6x+≤x2+x−12x^{2} -6x + \leq x^{2}+x-1

STEP 5

Reorganizamos la inecuación restando x2x^{2}, xx, y −1-1 de ambos lados.
x2−7x+≤0x^{2} -7x + \leq0

STEP 6

Factorizamos la expresión cuadrática.
(x−6)(x−1)≤0(x-6)(x-1) \leq0

STEP 7

Para resolver la inecuación, necesitamos encontrar los valores de xx que hacen que la expresión sea menor o igual a cero. Esto sucede cuando al menos uno de los factores es cero o cuando uno es negativo y el otro es positivo.
Por lo tanto, establecemos cada factor igual a cero y resolvemos para xx.
x−6=0⇒x=6x-6=0 \Rightarrow x=6x−1=0⇒x=1x-1=0 \Rightarrow x=1

STEP 8

Los puntos críticos son x=1x=1 y x=6x=6. Ahora, necesitamos probar los intervalos (−∞,1)(-\infty,1), (1,6)(1,6), y (6,∞)(6,\infty) para ver cuándo la inecuación se cumple.

STEP 9

legimos un número de prueba en cada intervalo y lo sustituimos en la inecuación. Para el intervalo (−∞,)(-\infty,), podemos elegir x=x=.
(−6)(−)≤(-6)(-) \leq(−6)(−)≤(-6)(-) \leq6≤6 \leqEsto no es cierto, por lo que la inecuación no se cumple para el intervalo (−∞,)(-\infty,).

STEP 10

Para el intervalo (,6)(,6), podemos elegir x=2x=2.
(2−6)(2−)≤0(2-6)(2-) \leq0(−4)()≤0(-4)() \leq0−4≤0-4 \leq0Esto es cierto, por lo que la inecuación se cumple para el intervalo (,6)(,6).

STEP 11

Para el intervalo (6,∞)(6,\infty), podemos elegir x=7x=7.
(7−6)(7−)≤0(7-6)(7-) \leq0()(6)≤0()(6) \leq06≤06 \leq0Esto no es cierto, por lo que la inecuación no se cumple para el intervalo (6,∞)(6,\infty).

STEP 12

Por lo tanto, la solución a la inecuación es ≤x≤6 \leq x \leq6. El menor valor que puede tomar " xx " en la inecuación es x=x=.
Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción d..

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