Math  /  Geometry

QuestionÜbung 13 Schutzdeich Am Ufer der Ostsee wird ein 500 m langer Deich gebaut, der das abgebildete Profil erhalten soll. Er kann durch eine Parabel und 2 Geraden modelliert werden. Die Parabel läuft horizontal aus. a) Wie lautet die Gleichung der Parabel? b) Wie groß ist die Querschnittsfläche des Deiches insgesamt? c) Wie viele Fahrten mit 20-TonnenLKWs sind erforderlich, um das Baumaterial heranzuschaffen? (Materialdichte: 1,8 g/cm31,8 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} )

Studdy Solution

STEP 1

STEP 2

Bestimme die Gleichung der Parabel.
Da die Parabel horizontal ausläuft und durch die Punkte (0,1) (0,1) und (8,6) (8,6) verläuft, nehmen wir an, dass die Gleichung der Form y=ax2+bx+c y = ax^2 + bx + c ist.
Verwende die Punkte (0,1) (0,1) , (8,6) (8,6) und die Bedingung für horizontales Auslaufen, um die Koeffizienten a a , b b , und c c zu bestimmen.
Zwischenschritt: Setze (0,1) (0,1) in die Parabelgleichung ein:
1=a02+b0+c 1 = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c c=1 \Rightarrow c = 1
Setze (8,6) (8,6) in die Parabelgleichung ein:
6=a82+b8+1 6 = a \cdot 8^2 + b \cdot 8 + 1 6=64a+8b+1 \Rightarrow 6 = 64a + 8b + 1 64a+8b=5 \Rightarrow 64a + 8b = 5
Da die Parabel horizontal ausläuft, ist die Ableitung bei x=8 x = 8 gleich null:
2ax+b=0 2ax + b = 0 16a+b=0 \Rightarrow 16a + b = 0
Löse das Gleichungssystem:
1. 64a+8b=5 64a + 8b = 5
2. 16a+b=0 16a + b = 0

Zwischenschritt: Löse Gleichung 2 nach b b auf:
b=16a b = -16a
Setze b=16a b = -16a in Gleichung 1 ein:
64a+8(16a)=5 64a + 8(-16a) = 5 64a128a=5 64a - 128a = 5 64a=5 -64a = 5 a=564 a = -\frac{5}{64}
Setze a a in b=16a b = -16a ein:
b=16(564) b = -16 \left(-\frac{5}{64}\right) b=8064 b = \frac{80}{64} b=54 b = \frac{5}{4}
Die Parabelgleichung ist:
y=564x2+54x+1 y = -\frac{5}{64}x^2 + \frac{5}{4}x + 1

STEP 3

Berechne die Querschnittsfläche des Deiches.
Die Querschnittsfläche besteht aus der Fläche unter der Parabel von x=0 x = 0 bis x=8 x = 8 , der rechteckigen Fläche von x=8 x = 8 bis x=10 x = 10 , und dem Trapez von x=10 x = 10 bis x=12 x = 12 .
Berechne die Fläche unter der Parabel:
08(564x2+54x+1)dx \int_{0}^{8} \left(-\frac{5}{64}x^2 + \frac{5}{4}x + 1\right) \, dx
Zwischenschritt: Berechne das Integral:
(564x2+54x+1)dx=5192x3+58x2+x \int \left(-\frac{5}{64}x^2 + \frac{5}{4}x + 1\right) \, dx = -\frac{5}{192}x^3 + \frac{5}{8}x^2 + x
Setze die Grenzen ein:
[5192(8)3+58(8)2+8][5192(0)3+58(0)2+0] \left[-\frac{5}{192}(8)^3 + \frac{5}{8}(8)^2 + 8\right] - \left[-\frac{5}{192}(0)^3 + \frac{5}{8}(0)^2 + 0\right]
Berechne die Fläche:
=5192(512)+58(64)+8 = -\frac{5}{192}(512) + \frac{5}{8}(64) + 8 =2560192+40+8 = -\frac{2560}{192} + 40 + 8 =13.333+40+8 = -13.333 + 40 + 8 =34.667 = 34.667
Zwischenschritt: Berechne die rechteckige Fläche von x=8 x = 8 bis x=10 x = 10 :
Rechteckfla¨che=Breite×Ho¨he=(108)×6=12 \text{Rechteckfläche} = \text{Breite} \times \text{Höhe} = (10 - 8) \times 6 = 12
Berechne die Trapezfläche von x=10 x = 10 bis x=12 x = 12 :
Trapezfla¨che=12×(obere Basis+untere Basis)×Ho¨he \text{Trapezfläche} = \frac{1}{2} \times (\text{obere Basis} + \text{untere Basis}) \times \text{Höhe} =12×(6+1)×(1210)=12×7×2=7 = \frac{1}{2} \times (6 + 1) \times (12 - 10) = \frac{1}{2} \times 7 \times 2 = 7
Addiere alle Flächen:
Gesamtfla¨che=34.667+12+7=53.667 \text{Gesamtfläche} = 34.667 + 12 + 7 = 53.667

STEP 4

Berechne die Anzahl der erforderlichen LKW-Fahrten.
Berechne das Volumen des Deiches:
Volumen=Querschnittsfla¨che×La¨nge=53.667m2×500m=26833.5m3 \text{Volumen} = \text{Querschnittsfläche} \times \text{Länge} = 53.667 \, \text{m}^2 \times 500 \, \text{m} = 26833.5 \, \text{m}^3
Konvertiere das Volumen in Kubikzentimeter:
26833.5m3=26833.5×106cm3 26833.5 \, \text{m}^3 = 26833.5 \times 10^6 \, \text{cm}^3
Berechne die Masse des Materials:
Masse=Volumen×Materialdichte=26833.5×106cm3×1.8g/cm3 \text{Masse} = \text{Volumen} \times \text{Materialdichte} = 26833.5 \times 10^6 \, \text{cm}^3 \times 1.8 \, \text{g/cm}^3
Konvertiere die Masse in Tonnen:
Masse in Tonnen=26833.5×106×1.8106=48240.3Tonnen \text{Masse in Tonnen} = \frac{26833.5 \times 10^6 \times 1.8}{10^6} = 48240.3 \, \text{Tonnen}
Berechne die Anzahl der LKW-Fahrten:
Anzahl der Fahrten=Masse in Tonnen20=48240.320=2412.015 \text{Anzahl der Fahrten} = \frac{\text{Masse in Tonnen}}{20} = \frac{48240.3}{20} = 2412.015
Da die Anzahl der Fahrten eine ganze Zahl sein muss, runden wir auf:
Anzahl der Fahrten=2413 \text{Anzahl der Fahrten} = 2413
Die Anzahl der erforderlichen LKW-Fahrten ist:
2413 \boxed{2413}

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