Questionتمرين 1
باستعكال التُعريف اوجد مشُقة الدالة f في كل من الحالات التّالية
1. $f(x)=\sqrt{2 x+1}$,
2. $f(x)=\sqrt[3]{x}$,
3. $f(x)=\frac{-1}{x}$.
تمرين 2
احسب مشّقة الدالة $f$ في كل من الحالات التّالية
1. $f(x)=\cos \sqrt{1-4 x}$, 2. $f(x)=\ln \sqrt[4]{x-4}, 3$. $f(x)=\ln \frac{x^{3}-2}{x^{2}+1}$.
تصرين3
احسب النهايات التّلية $$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{6 x^{2}}{3 e^{x}-x^{3}-3 x-3} \quad, \quad \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{x+3}-2}{\sqrt{x+8}-3}$$

STEP 1

STEP 2

احسب مشتقة $f(x) = \sqrt{2x + 1}$.
$$f'(x) = \frac{d}{dx} (2x + 1)^{1/2}$$
استخدم قاعدة السلسلة:
$$f'(x) = \frac{1}{2}(2x + 1)^{-1/2} \cdot 2$$
$$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{2x + 1}}$$

STEP 3

احسب مشتقة $f(x) = \sqrt[3]{x}$.
$$f'(x) = \frac{d}{dx} (x^{1/3})$$
استخدم قاعدة القوة:
$$f'(x) = \frac{1}{3}x^{-2/3}$$

STEP 4

احسب مشتقة $f(x) = \frac{-1}{x}$.
$$f'(x) = \frac{d}{dx} (-x^{-1})$$
استخدم قاعدة القوة:
$$f'(x) = x^{-2}$$
التمرين 2:

STEP 5

احسب مشتقة $f(x) = \cos(\sqrt{1 - 4x})$.
استخدم قاعدة السلسلة:
$$f'(x) = -\sin(\sqrt{1 - 4x}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{1 - 4x}} \cdot (-4)$$
$$f'(x) = \frac{2\sin(\sqrt{1 - 4x})}{\sqrt{1 - 4x}}$$

STEP 6

احسب مشتقة $f(x) = \ln(\sqrt[4]{x - 4})$.
استخدم قاعدة السلسلة:
$$f'(x) = \frac{1}{\sqrt[4]{x - 4}} \cdot \frac{1}{4}(x - 4)^{-3/4}$$
$$f'(x) = \frac{1}{4(x - 4)^{3/4}}$$

STEP 7

احسب مشتقة $f(x) = \ln\left(\frac{x^3 - 2}{x^2 + 1}\right)$.
استخدم قاعدة القسمة وقاعدة السلسلة:
$$f'(x) = \frac{1}{\frac{x^3 - 2}{x^2 + 1}} \cdot \left(\frac{(x^2 + 1)(3x^2) - (x^3 - 2)(2x)}{(x^2 + 1)^2}\right)$$
$$f'(x) = \frac{(x^2 + 1)(3x^2) - (x^3 - 2)(2x)}{(x^3 - 2)(x^2 + 1)}$$
التمرين 3:

STEP 8

احسب النهاية:
$$\lim_{x \to 0} \frac{6x^2}{3e^x - x^3 - 3x - 3}$$
استخدم قاعدة لوبيتال:
$$\lim_{x \to 0} \frac{12x}{3e^x - 3x^2 - 3}$$
$$\lim_{x \to 0} \frac{12}{3e^x - 6x}$$
عند $x = 0$:
$$\frac{12}{3 - 0} = 4$$

STEP 9

احسب النهاية:
$$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x+3} - 2}{\sqrt{x+8} - 3}$$
استخدم قاعدة لوبيتال:
$$\lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{2\sqrt{x+3}}}{\frac{1}{2\sqrt{x+8}}}$$
عند $x = 1$:
$$\frac{\frac{1}{2\sqrt{4}}}{\frac{1}{2\sqrt{9}}} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{6}} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$$
النهايات المحسوبة هي:
$$\boxed{4} \quad \text{و} \quad \boxed{\frac{3}{2}}$$