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Math  /  Calculus

Questionتمارين شامالة ومقترحة لشهادة البكالوريا 2024 11

Studdy Solution

STEP 1

1. La fonction donnée est f(x)=3ex−1ex+1 f(x) = \frac{3e^x - 1}{e^x + 1} .
2. Nous devons calculer les limites de la fonction pour certaines valeurs de x x .
3. Nous devons étudier le comportement de la fonction, y compris les asymptotes éventuelles.

STEP 2

1. Calculer les limites de f(x) f(x) lorsque x→+∞ x \to +\infty et x→−∞ x \to -\infty .
2. Étudier le comportement de la fonction en déterminant les dérivées et les points critiques.
3. Déterminer les asymptotes verticales et horizontales.

STEP 3

Calculons la limite de f(x) f(x) lorsque x→+∞ x \to +\infty :
lim⁡x→+∞3ex−1ex+1 \lim_{x \to +\infty} \frac{3e^x - 1}{e^x + 1}
Pour simplifier, divisons le numérateur et le dénominateur par ex e^x :
=lim⁡x→+∞3−1ex1+1ex = \lim_{x \to +\infty} \frac{3 - \frac{1}{e^x}}{1 + \frac{1}{e^x}}
Lorsque x→+∞ x \to +\infty , 1ex→0 \frac{1}{e^x} \to 0 .
=3−01+0=3 = \frac{3 - 0}{1 + 0} = 3

STEP 4

Calculons la limite de f(x) f(x) lorsque x→−∞ x \to -\infty :
lim⁡x→−∞3ex−1ex+1 \lim_{x \to -\infty} \frac{3e^x - 1}{e^x + 1}
Lorsque x→−∞ x \to -\infty , ex→0 e^x \to 0 .
=3⋅0−10+1=−1 = \frac{3 \cdot 0 - 1}{0 + 1} = -1

STEP 5

Étudions le comportement de la fonction en calculant la dérivée de f(x) f(x) :
Utilisons la règle du quotient:
f′(x)=(3ex+1)(ex+1)−(3ex−1)(ex)(ex+1)2 f'(x) = \frac{(3e^x + 1)(e^x + 1) - (3e^x - 1)(e^x)}{(e^x + 1)^2}
Simplifions l'expression:
=3e2x+4ex+1−3e2x+ex(ex+1)2 = \frac{3e^{2x} + 4e^x + 1 - 3e^{2x} + e^x}{(e^x + 1)^2} =5ex+1(ex+1)2 = \frac{5e^x + 1}{(e^x + 1)^2}
Déterminons les points critiques en résolvant f′(x)=0 f'(x) = 0 :
5ex+1=0 5e^x + 1 = 0
Cette équation n'a pas de solution réelle car ex>0 e^x > 0 .

STEP 6

Déterminons les asymptotes:
1. Asymptote horizontale: Nous avons déjà trouvé que lim⁡x→+∞f(x)=3 \lim_{x \to +\infty} f(x) = 3 et lim⁡x→−∞f(x)=−1 \lim_{x \to -\infty} f(x) = -1 . Donc, il y a des asymptotes horizontales à y=3 y = 3 et y=−1 y = -1 .
2. Asymptote verticale: Il n'y a pas d'asymptote verticale car le dénominateur ex+1 e^x + 1 n'est jamais nul.
La fonction f(x)=3ex−1ex+1 f(x) = \frac{3e^x - 1}{e^x + 1} a des asymptotes horizontales à y=3 y = 3 et y=−1 y = -1 , et aucun point critique réel.

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