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QuestionSimplify the expression (a+1a−1+a−1a+1)÷(a+1a−1−a−1a+1)\left(\frac{a+1}{a-1}+\frac{a-1}{a+1}\right) \div\left(\frac{a+1}{a-1}-\frac{a-1}{a+1}\right).

Studdy Solution

STEP 1

Suposiciones1. aa es un número real y a≠±1a \neq \pm1 para evitar divisiones por cero.

STEP 2

Primero, vamos a simplificar el numerador y el denominador por separado. Empezamos con el numerador.
Numerador=a+1a−1+a−1a+1Numerador = \frac{a+1}{a-1}+\frac{a-1}{a+1}

STEP 3

Para sumar estas dos fracciones, necesitamos un denominador común. El denominador común de (a−1)(a-1) y (a+1)(a+1) es (a−1)(a+1)(a-1)(a+1).
Numerador=(a+1)2(a−1)(a+1)+(a−1)2(a−1)(a+1)Numerador = \frac{(a+1)^2}{(a-1)(a+1)}+\frac{(a-1)^2}{(a-1)(a+1)}

STEP 4

Ahora que tenemos un denominador común, podemos sumar los numeradores.
Numerador=(a+1)2+(a−1)2(a−1)(a+1)Numerador = \frac{(a+1)^2 + (a-1)^2}{(a-1)(a+1)}

STEP 5

Expresamos los cuadrados en la forma extendida.
Numerador=a2+2a+1+a2−2a+1(a−1)(a+1)Numerador = \frac{a^2 +2a +1 + a^2 -2a +1}{(a-1)(a+1)}

STEP 6

implificamos el numerador sumando los términos semejantes.
Numerador=2a2+2(a−1)(a+1)Numerador = \frac{2a^2 +2}{(a-1)(a+1)}

STEP 7

Ahora, vamos a simplificar el denominador.
Denominador=a+1a−1−a−1a+1Denominador = \frac{a+1}{a-1}-\frac{a-1}{a+1}

STEP 8

Al igual que en el numerador, necesitamos un denominador común para restar estas dos fracciones. El denominador común de (a−1)(a-1) y (a+1)(a+1) es (a−1)(a+1)(a-1)(a+1).
Denominador=(a+1)2(a−1)(a+1)−(a−1)2(a−1)(a+1)Denominador = \frac{(a+1)^2}{(a-1)(a+1)}-\frac{(a-1)^2}{(a-1)(a+1)}

STEP 9

Ahora que tenemos un denominador común, podemos restar los numeradores.
Denominador=(a+)2−(a−)2(a−)(a+)Denominador = \frac{(a+)^2 - (a-)^2}{(a-)(a+)}

STEP 10

Expresamos los cuadrados en la forma extendida.
Denominador=a2+2a+−(a2−2a+)(a−)(a+)Denominador = \frac{a^2 +2a + - (a^2 -2a +)}{(a-)(a+)}

STEP 11

implificamos el denominador restando los términos semejantes.
Denominador=4a(a−)(a+)Denominador = \frac{4a}{(a-)(a+)}

STEP 12

Ahora que hemos simplificado tanto el numerador como el denominador, podemos dividirlos.
NumeradorDenominador=2a2+2(a−)(a+)4a(a−)(a+)\frac{Numerador}{Denominador} = \frac{\frac{2a^2 +2}{(a-)(a+)}}{\frac{4a}{(a-)(a+)}}

STEP 13

Cuando dividimos fracciones, multiplicamos la primera fracción por el recíproco de la segunda.
NumeradorDenominador=2a2+2(a−)(a+)×(a−)(a+)a\frac{Numerador}{Denominador} = \frac{2a^2 +2}{(a-)(a+)} \times \frac{(a-)(a+)}{a}

STEP 14

implificamos la expresión cancelando los términos comunes en el numerador y el denominador.
NumeradorDenominador=2a2+24a\frac{Numerador}{Denominador} = \frac{2a^2 +2}{4a}

STEP 15

Finalmente, simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por2.
NumeradorDenominador=a2+2a\frac{Numerador}{Denominador} = \frac{a^2 +}{2a}Por lo tanto, (a+a−+a−a+)÷(a+a−−a−a+)=a2+2a\left(\frac{a+}{a-}+\frac{a-}{a+}\right) \div\left(\frac{a+}{a-}-\frac{a-}{a+}\right) = \frac{a^2 +}{2a}.

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