Studdy AI Logo
Math

Question Find the linear approximation of f(x)=x1/4f(x) = x^{1/4} at x0=2x_0 = 2. Select the correct answer.

Studdy Solution

STEP 1

الافتراضات
1. الدالة المعطاة هي f(x)=x14 f(x) = x^{\frac{1}{4}}
2. نريد إيجاد التقريب الخطي للدالة حول نقطة x0=2 x_0 = 2
3. التقريب الخطي لدالة حول نقطة ما يُعطى بالصيغة f(x0)+f′(x0)(x−x0) f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)

STEP 2

أولاً، نحتاج إلى إيجاد قيمة الدالة عند x0 x_0 .
f(x0)=f(2)=214 f(x_0) = f(2) = 2^{\frac{1}{4}}

STEP 3

الآن، نحتاج إلى إيجاد مشتقة الدالة f(x) f(x) .
f′(x)=ddxx14 f'(x) = \frac{d}{dx} x^{\frac{1}{4}}

STEP 4

استخدم قواعد الاشتقاق لإيجاد المشتقة.
f′(x)=14x14−1=14x−34 f'(x) = \frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1} = \frac{1}{4} x^{-\frac{3}{4}}

STEP 5

الآن، نحتاج إلى إيجاد قيمة المشتقة عند x0 x_0 .
f′(x0)=f′(2)=142−34 f'(x_0) = f'(2) = \frac{1}{4} 2^{-\frac{3}{4}}

STEP 6

نبسط قيمة المشتقة عند x0 x_0 .
f′(2)=14⋅1234=14⋅2−34=2−34−2=2−114 f'(2) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2^{\frac{3}{4}}} = \frac{1}{4} \cdot 2^{-\frac{3}{4}} = 2^{-\frac{3}{4} - 2} = 2^{-\frac{11}{4}}

STEP 7

الآن، نستخدم الصيغة العامة للتقريب الخطي لإيجاد التقريب الخطي لـ 1014 10^{\frac{1}{4}} حول x0=2 x_0 = 2 .
L(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0) L(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)

STEP 8

نستبدل x0 x_0 و f(x0) f(x_0) و f′(x0) f'(x_0) في الصيغة.
L(x)=214+2−114(x−2) L(x) = 2^{\frac{1}{4}} + 2^{-\frac{11}{4}}(x - 2)

STEP 9

نستبدل x x بـ 10 10 لإيجاد التقريب الخطي لـ 1014 10^{\frac{1}{4}} .
L(10)=214+2−114(10−2) L(10) = 2^{\frac{1}{4}} + 2^{-\frac{11}{4}}(10 - 2)

STEP 10

نحسب L(10) L(10) .
L(10)=214+2−114⋅8 L(10) = 2^{\frac{1}{4}} + 2^{-\frac{11}{4}} \cdot 8

STEP 11

نبسط العبارة.
L(10)=214+8⋅2−114 L(10) = 2^{\frac{1}{4}} + 8 \cdot 2^{-\frac{11}{4}}

STEP 12

نلاحظ أن 8=23 8 = 2^3 ، لذا نستطيع كتابة العبارة كالتالي:
L(10)=214+23⋅2−114 L(10) = 2^{\frac{1}{4}} + 2^3 \cdot 2^{-\frac{11}{4}}

STEP 13

نجمع الأُسس.
L(10)=214+2124−114 L(10) = 2^{\frac{1}{4}} + 2^{\frac{12}{4} - \frac{11}{4}}

STEP 14

نبسط الأُسس.
L(10)=214+214 L(10) = 2^{\frac{1}{4}} + 2^{\frac{1}{4}}

STEP 15

نجمع الحدود المتشابهة.
L(10)=2⋅214 L(10) = 2 \cdot 2^{\frac{1}{4}}

STEP 16

نبسط العبارة النهائية.
L(10)=254 L(10) = 2^{\frac{5}{4}}
إذاً، التقريب الخطي لـ 1014 10^{\frac{1}{4}} حول x0=2 x_0 = 2 هو 254 2^{\frac{5}{4}} .

Was this helpful?

Studdy solves anything!

banner

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

ParentsInfluencer programContactPolicyTerms
TwitterInstagramFacebookTikTokDiscord