Math / Calculus

QuestionThe integral that represents the area of the region enclosed by $f(x)=x^{3}-x$ and the $x$ -axis is $\int_{0}^{1}\left(x^{3}-x\right) d x$ $\int_{-1}^{1}\left(x-x^{3}\right) d x$ $\int_{-1}^{1}\left(x^{3}-x\right) d x$ $2 \int_{0}^{1}\left(x-x^{3}\right) d x$

Studdy Solution

STEP 1

1. الدالة المعطاة هي $f(x) = x^3 - x$ .
2. نحتاج إلى حساب المساحة المحصورة بين الدالة والمحور السيني.
3. يجب أن نحدد النقاط التي تتقاطع فيها الدالة مع المحور السيني.

STEP 2

1. إيجاد النقاط التي تتقاطع فيها الدالة مع المحور السيني.
2. تحديد التكاملات المناسبة لحساب المساحة.
3. حساب المساحة باستخدام التكاملات.

STEP 3

لحساب النقاط التي تتقاطع فيها الدالة مع المحور السيني، نحل المعادلة:
$x^3 - x = 0$
نقوم بتحليل المعادلة:
$x(x^2 - 1) = 0$

STEP 4

نحلل أكثر:
$x(x - 1)(x + 1) = 0$
وبالتالي، النقاط التي تتقاطع فيها الدالة مع المحور السيني هي $x = 0$ ، $x = 1$ ، و $x = -1$ .

STEP 5

نحدد التكاملات المناسبة لحساب المساحة. نلاحظ أن الدالة تتغير إشارتها بين النقاط $x = -1$ و $x = 1$ . لذا، نحتاج إلى حساب التكامل من $-1$ إلى $1$ :
$\int_{-1}^{1} (x^3 - x) \, dx$

STEP 6

نقوم بحساب التكامل:
$\int_{-1}^{1} (x^3 - x) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2} \right]_{-1}^{1}$

STEP 7

نحسب القيم عند الحدود:
$\left( \frac{1^4}{4} - \frac{1^2}{2} \right) - \left( \frac{(-1)^4}{4} - \frac{(-1)^2}{2} \right)$
$= \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \right) - \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \right)$
$= \left( -\frac{1}{4} \right) - \left( -\frac{1}{4} \right)$
$= 0$
الحل الصحيح هو أن المساحة المحصورة تساوي صفر، ولكن لأننا نبحث عن المساحة المطلقة، نحتاج إلى استخدام التكاملات الصحيحة التي تعطي المساحة الموجبة. الخيار الصحيح هو:
$\int_{-1}^{1} (x^3 - x) \, dx$

Was this helpful?

QuestionThe integral that represents the area of the region enclosed by $f(x)=x^{3}-x$ and the $x$ -axis is $\int_{0}^{1}\left(x^{3}-x\right) d x$ $\int_{-1}^{1}\left(x-x^{3}\right) d x$ $\int_{-1}^{1}\left(x^{3}-x\right) d x$ $2 \int_{0}^{1}\left(x-x^{3}\right) d x$

Studdy Solution

STEP 1

1. الدالة المعطاة هي $f(x) = x^3 - x$ .
2. نحتاج إلى حساب المساحة المحصورة بين الدالة والمحور السيني.
3. يجب أن نحدد النقاط التي تتقاطع فيها الدالة مع المحور السيني.

STEP 2

1. إيجاد النقاط التي تتقاطع فيها الدالة مع المحور السيني.
2. تحديد التكاملات المناسبة لحساب المساحة.
3. حساب المساحة باستخدام التكاملات.

STEP 3

لحساب النقاط التي تتقاطع فيها الدالة مع المحور السيني، نحل المعادلة:
$x^3 - x = 0$
نقوم بتحليل المعادلة:
$x(x^2 - 1) = 0$

STEP 4

نحلل أكثر:
$x(x - 1)(x + 1) = 0$
وبالتالي، النقاط التي تتقاطع فيها الدالة مع المحور السيني هي $x = 0$ ، $x = 1$ ، و $x = -1$ .

STEP 5

نحدد التكاملات المناسبة لحساب المساحة. نلاحظ أن الدالة تتغير إشارتها بين النقاط $x = -1$ و $x = 1$ . لذا، نحتاج إلى حساب التكامل من $-1$ إلى $1$ :
$\int_{-1}^{1} (x^3 - x) \, dx$

STEP 6

نقوم بحساب التكامل:
$\int_{-1}^{1} (x^3 - x) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2} \right]_{-1}^{1}$

STEP 7

Get Studdy

Studdy solves anything!

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

Studdy Solution

STEP 1

1. الدالة المعطاة هي f(x)=x3−x f(x) = x^3 - x f(x)=x3−x.2. نحتاج إلى حساب المساحة المحصورة بين الدالة والمحور السيني.3. يجب أن نحدد النقاط التي تتقاطع فيها الدالة مع المحور السيني.

STEP 2

1. إيجاد النقاط التي تتقاطع فيها الدالة مع المحور السيني.2. تحديد التكاملات المناسبة لحساب المساحة.3. حساب المساحة باستخدام التكاملات.

STEP 3

لحساب النقاط التي تتقاطع فيها الدالة مع المحور السيني، نحل المعادلة:x3−x=0 x^3 - x = 0 x3−x=0نقوم بتحليل المعادلة:x(x2−1)=0 x(x^2 - 1) = 0 x(x2−1)=0

STEP 4

نحلل أكثر:x(x−1)(x+1)=0 x(x - 1)(x + 1) = 0 x(x−1)(x+1)=0وبالتالي، النقاط التي تتقاطع فيها الدالة مع المحور السيني هي x=0 x = 0 x=0، x=1 x = 1 x=1، و x=−1 x = -1 x=−1.

STEP 5

STEP 6

نقوم بحساب التكامل:∫−11(x3−x) dx=[x44−x22]−11 \int_{-1}^{1} (x^3 - x) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2} \right]_{-1}^{1} ∫−11​(x3−x)dx=[4x4​−2x2​]−11​

STEP 7

Get Studdy

Studdy solves anything!

Start learning now

Download Studdy AI Tutor now. Learn with ease and get all help you need to be successful at school.

1. الدالة المعطاة هي $f(x) = x^3 - x$ .
2. نحتاج إلى حساب المساحة المحصورة بين الدالة والمحور السيني.
3. يجب أن نحدد النقاط التي تتقاطع فيها الدالة مع المحور السيني.

1. إيجاد النقاط التي تتقاطع فيها الدالة مع المحور السيني.
2. تحديد التكاملات المناسبة لحساب المساحة.
3. حساب المساحة باستخدام التكاملات.

لحساب النقاط التي تتقاطع فيها الدالة مع المحور السيني، نحل المعادلة:
$x^3 - x = 0$
نقوم بتحليل المعادلة:
$x(x^2 - 1) = 0$

نحلل أكثر:
$x(x - 1)(x + 1) = 0$
وبالتالي، النقاط التي تتقاطع فيها الدالة مع المحور السيني هي $x = 0$ ، $x = 1$ ، و $x = -1$ .

نقوم بحساب التكامل:
$\int_{-1}^{1} (x^3 - x) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2} \right]_{-1}^{1}$