Math  /  Algebra

QuestionThe function f(x)f(x) is shown below. Is the inverse of f(x)f(x) also a function? Use the drop-down menus to explain. f(x)=2x3, for all xf(x)=2^{x}-3, \text { for all } x
Click the arrows to choose an answer from each menu. The function f(x)f(x) Choose... \square every range value to exactly one domain value. The domain of f(x)f(x) is Choose... \square and the range of f(x)f(x) is Choose... \square . Therefore, the inverse of f(x)f(x) is Choose...

Studdy Solution

STEP 1

¿Qué nos están preguntando? Determinar si la inversa de la función f(x)=2x3f(x) = 2^x - 3 también es una función. ¡Cuidado! No confundas el dominio y el rango de la función original con los de su inversa.

STEP 2

1. Analizar la función original
2. Determinar el dominio y rango de f(x)f(x)
3. Analizar la inversa

STEP 3

¡Hola, matemáticos!
Tenemos esta función genial, f(x)=2x3f(x) = 2^x - 3, y queremos saber si su inversa también es una función.
Para que una función tenga una inversa que también sea una función, la función original debe ser **biyectiva**. ¿Recuerdan qué significa eso? ¡Significa que cada valor del rango debe corresponder a **exactamente** un valor del dominio!

STEP 4

**Dominio:** El dominio de f(x)=2x3f(x) = 2^x - 3 son **todos los números reales**. ¿Por qué?
Porque podemos elevar 2 a cualquier potencia real. ¡Intenta con algunos ejemplos! xx puede ser 0, 1, -1, π\pi, lo que quieras.

STEP 5

**Rango:** El rango de f(x)f(x) son todos los números **mayores que -3**.
Piensa en ello: 2x2^x siempre es positivo, sin importar el valor de xx.
Entonces, el valor más pequeño que 2x2^x puede tomar se acerca a 0, pero nunca lo alcanza.
Por lo tanto, el valor más pequeño que f(x)f(x) puede tomar es cuando 2x2^x se acerca a 0, lo que nos da 03=30 - 3 = \mathbf{-3}.
Como 2x2^x crece indefinidamente a medida que xx aumenta, f(x)f(x) también crece indefinidamente. ¡El rango es (3,)(-3, \infty)!

STEP 6

Ahora, pensemos en la inversa.
Si graficamos f(x)f(x), vemos que pasa la **prueba de la línea horizontal**.
Esto significa que para cada valor de yy en el rango, solo hay un valor de xx en el dominio. ¡Genial! Eso significa que la inversa de f(x)f(x) también es una función.

STEP 7

La función f(x)f(x) *mapea cada valor del rango a exactamente un valor del dominio*.
El dominio de f(x)f(x) es *todos los números reales* y el rango de f(x)f(x) es *y>3y > -3*.
Por lo tanto, la inversa de f(x)f(x) *es una función*.

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