QuestionSORULARI QUESTIONS
1. For given vectors $u=(-2,4,0) v=(1,-3,6)$ a) Find $\cos \theta$ between two vectors. (10p) b) When does the dot product give zero? (Sp) c) Find the distance two vectors. ? (Sp)
2. Find the solution of the linear equation system by Gauss Jordan Elimination Method. (400) $$\begin{aligned} 3 x_{1}+x_{2}+x_{3} & =12 \\ 2 x_{1}-x_{2}+2 x_{3} & =9 \\ x_{1}+x_{2}+x_{3} & =6 \end{aligned}$$
3. $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{rrrr}1 & -2 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 5 & 4 \\ 2 & -1 & -2 & 2 \\ 3 & 4 & 1 & -3\end{array}\right]$
Find the $\mathrm{A}=$ L.D.U Factorization ( 40 p )

STEP 1

STEP 2

لحساب $\cos \theta$ بين المتجهين، نستخدم صيغة الجداء النقطي:
$$\cos \theta = \frac{u \cdot v}{\|u\| \|v\|}$$
أولاً، نحسب الجداء النقطي $u \cdot v$:
$$u \cdot v = (-2)(1) + (4)(-3) + (0)(6) = -2 - 12 + 0 = -14$$

STEP 3

نحسب الطول لكل من المتجهين:
$$\|u\| = \sqrt{(-2)^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{4 + 16 + 0} = \sqrt{20}$$
$$\|v\| = \sqrt{1^2 + (-3)^2 + 6^2} = \sqrt{1 + 9 + 36} = \sqrt{46}$$

STEP 4

الآن نحسب $\cos \theta$:
$$\cos \theta = \frac{-14}{\sqrt{20} \cdot \sqrt{46}}$$

STEP 5

الجداء النقطي يعطي صفرًا عندما يكون المتجهان متعامدين. أي:
$$u \cdot v = 0$$

STEP 6

لحساب المسافة بين المتجهين، نستخدم صيغة المسافة بين نقطتين في الفضاء:
$$\text{Distance} = \|u - v\|$$
$$u - v = (-2 - 1, 4 + 3, 0 - 6) = (-3, 7, -6)$$
$$\|u - v\| = \sqrt{(-3)^2 + 7^2 + (-6)^2} = \sqrt{9 + 49 + 36} = \sqrt{94}$$

STEP 7

لحل نظام المعادلات باستخدام طريقة جاوس جوردان، نبدأ بكتابة المصفوفة الموسعة للنظام:
$\begin{bmatrix} 3 & 1 & 1 & | & 12 \\ 2 & -1 & 2 & | & 9 \\ 1 & 1 & 1 & | & 6 \end{bmatrix}$

STEP 8

نقوم بتطبيق عمليات الصفوف للحصول على المصفوفة في شكل الصفوف المخفضة (RREF).

STEP 9

نواصل العمليات حتى نحصل على:
$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & x_1 \\ 0 & 1 & 0 & | & x_2 \\ 0 & 0 & 1 & | & x_3 \end{bmatrix}$
حيث $x_1, x_2, x_3$ هي الحلول.

STEP 10

لإيجاد تحليل L.D.U للمصفوفة $\boldsymbol{A}$، نقوم بتفكيكها إلى مصفوفات مثلثية سفلية (L)، قطرية (D)، ومثلثية علوية (U).
الحل هو:
1. $\cos \theta = \frac{-14}{\sqrt{20} \cdot \sqrt{46}}$
2. الجداء النقطي يساوي صفرًا عندما يكون المتجهان متعامدين.
3. المسافة بين المتجهين هي $\sqrt{94}$.
4. الحلول لنظام المعادلات هي $x_1, x_2, x_3$.
5. تحليل L.D.U للمصفوفة $\boldsymbol{A}$.