Math / Algebra

QuestionSoiving a 2 x 2 system or inear equations that is inconsistent or consistent... \begin{tabular}{|c|c|} \hline System A $\begin{aligned} -2 x+y-2 & =0 \\ 2 x-y & =-2 \end{aligned}$ & \begin{tabular}{l} The system has no solution. The system has a unique solution: \\ $(x, y)=$ $\square$ $\square$ The system has infinitely many solutions They must satisfy the following equation: $y=$ $\square$ \end{tabular} \\ \hline System B $\begin{array}{l} 3 x-y=6 \\ 3 x+y=6 \end{array}$ & \begin{tabular}{l} The system has no solution. The system has a unique solution: $(x, y)=$ $\square$ $\square$ The system has infinitely many solutions. \\ They must satisfy the following equation: \end{tabular} \\ \hline \end{tabular}

Studdy Solution

STEP 1

¿Qué nos están preguntando? Necesitamos determinar si cada sistema de ecuaciones tiene una solución, ninguna solución o infinitas soluciones, y en caso de tener una única solución, encontrarla. ¡Cuidado! Un error común es asumir que dos ecuaciones siempre tienen una solución única. ¡Recuerda que pueden ser paralelas (sin solución) o la misma línea (infinitas soluciones)!

STEP 2

1. Analizar el Sistema A
2. Analizar el Sistema B

STEP 3

Tenemos $-2x + y - 2 = 0$ .
Vamos a sumar $2$ a ambos lados de la ecuación para aislar $y$ .
Esto nos da $-2x + y - 2 + 2 = 0 + 2$ , que se simplifica a $-2x + y = 2$ .

STEP 4

Ahora, comparemos las dos ecuaciones del Sistema A: $-2x + y = 2$ $2x - y = -2$ ¡Observa que la segunda ecuación es simplemente la primera ecuación multiplicada por $-1$ !
Esto significa que representan la misma línea.

STEP 5

Dado que ambas ecuaciones representan la misma línea, el Sistema A tiene infinitas soluciones.
Para expresar estas soluciones, podemos usar la ecuación $y = 2x + 2$ , que obtenemos al sumar $2x$ a ambos lados de la primera ecuación reescrita.

STEP 6

Una forma inteligente de abordar el Sistema B es sumar las dos ecuaciones: $3x - y = 6$ $3x + y = 6$ Sumando las ecuaciones, obtenemos $3x + 3x - y + y = 6 + 6$ , que se simplifica a $6x = 12$ .

STEP 7

Para encontrar el valor de $x$ , dividimos ambos lados de $6x = 12$ por $6$ .
Esto nos da $x = \frac{12}{6} = 2$ . ¡Genial, tenemos $x = \mathbf{2}$ !

STEP 8

Ahora, sustituimos $x = 2$ en la primera ecuación del Sistema B: $3(2) - y = 6$ .
Esto se simplifica a $6 - y = 6$ .

STEP 9

Para encontrar $y$ , restamos $6$ de ambos lados de $6 - y = 6$ , lo que nos da $-y = 0$ .
Multiplicando ambos lados por $-1$ , obtenemos $y = \mathbf{0}$ .

STEP 10

El Sistema B tiene una solución única: $(\mathbf{2}, \mathbf{0})$ .

STEP 11

Sistema A: Infinitas soluciones, donde $y = 2x + 2$ . Sistema B: Solución única: $(2, 0)$ .

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STEP 2

1. Analizar el Sistema A
2. Analizar el Sistema B

STEP 3

Tenemos $-2x + y - 2 = 0$ .
Vamos a sumar $2$ a ambos lados de la ecuación para aislar $y$ .
Esto nos da $-2x + y - 2 + 2 = 0 + 2$ , que se simplifica a $-2x + y = 2$ .

STEP 4

Ahora, comparemos las dos ecuaciones del Sistema A: $-2x + y = 2$ $2x - y = -2$ ¡Observa que la segunda ecuación es simplemente la primera ecuación multiplicada por $-1$ !
Esto significa que representan la misma línea.

STEP 5

Dado que ambas ecuaciones representan la misma línea, el Sistema A tiene infinitas soluciones.
Para expresar estas soluciones, podemos usar la ecuación $y = 2x + 2$ , que obtenemos al sumar $2x$ a ambos lados de la primera ecuación reescrita.

STEP 6

Una forma inteligente de abordar el Sistema B es sumar las dos ecuaciones: $3x - y = 6$ $3x + y = 6$ Sumando las ecuaciones, obtenemos $3x + 3x - y + y = 6 + 6$ , que se simplifica a $6x = 12$ .

STEP 7

Para encontrar el valor de $x$ , dividimos ambos lados de $6x = 12$ por $6$ .
Esto nos da $x = \frac{12}{6} = 2$ . ¡Genial, tenemos $x = \mathbf{2}$ !

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Ahora, sustituimos $x = 2$ en la primera ecuación del Sistema B: $3(2) - y = 6$ .
Esto se simplifica a $6 - y = 6$ .

STEP 9

Para encontrar $y$ , restamos $6$ de ambos lados de $6 - y = 6$ , lo que nos da $-y = 0$ .
Multiplicando ambos lados por $-1$ , obtenemos $y = \mathbf{0}$ .

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El Sistema B tiene una solución única: $(\mathbf{2}, \mathbf{0})$ .

STEP 11

Sistema A: Infinitas soluciones, donde $y = 2x + 2$ . Sistema B: Solución única: $(2, 0)$ .

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STEP 2

1. Analizar el Sistema A2. Analizar el Sistema B

STEP 3

Tenemos −2x+y−2=0-2x + y - 2 = 0−2x+y−2=0.Vamos a **sumar** 222 a ambos lados de la ecuación para **aislar** yyy.Esto nos da −2x+y−2+2=0+2-2x + y - 2 + 2 = 0 + 2−2x+y−2+2=0+2, que se simplifica a −2x+y=2-2x + y = 2−2x+y=2.

STEP 4

Ahora, comparemos las dos ecuaciones del Sistema A: −2x+y=2-2x + y = 2−2x+y=2 2x−y=−22x - y = -22x−y=−2¡Observa que la segunda ecuación es simplemente la primera ecuación multiplicada por −1-1−1!Esto significa que representan la misma línea.

STEP 5

Dado que ambas ecuaciones representan la misma línea, el Sistema A tiene **infinitas soluciones**.Para expresar estas soluciones, podemos usar la ecuación y=2x+2y = 2x + 2y=2x+2, que obtenemos al **sumar** 2x2x2x a ambos lados de la primera ecuación reescrita.

STEP 6

Una forma inteligente de abordar el Sistema B es **sumar** las dos ecuaciones: 3x−y=63x - y = 63x−y=6 3x+y=63x + y = 63x+y=6Sumando las ecuaciones, obtenemos 3x+3x−y+y=6+63x + 3x - y + y = 6 + 63x+3x−y+y=6+6, que se simplifica a 6x=126x = 126x=12.

STEP 7

Para encontrar el valor de xxx, **dividimos** ambos lados de 6x=126x = 126x=12 por 666.Esto nos da x=126=2x = \frac{12}{6} = 2x=612​=2. ¡Genial, tenemos x=2x = \mathbf{2}x=2!

STEP 8

Ahora, **sustituimos** x=2x = 2x=2 en la primera ecuación del Sistema B: 3(2)−y=63(2) - y = 63(2)−y=6.Esto se simplifica a 6−y=66 - y = 66−y=6.

STEP 9

Para encontrar yyy, **restamos** 666 de ambos lados de 6−y=66 - y = 66−y=6, lo que nos da −y=0-y = 0−y=0.Multiplicando ambos lados por −1-1−1, obtenemos y=0y = \mathbf{0}y=0.

STEP 10

El Sistema B tiene una **solución única**: (2,0)(\mathbf{2}, \mathbf{0})(2,0).

STEP 11

Sistema A: Infinitas soluciones, donde y=2x+2y = 2x + 2y=2x+2. Sistema B: Solución única: (2,0)(2, 0)(2,0).

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1. Analizar el Sistema A
2. Analizar el Sistema B

Tenemos $-2x + y - 2 = 0$ .
Vamos a sumar $2$ a ambos lados de la ecuación para aislar $y$ .
Esto nos da $-2x + y - 2 + 2 = 0 + 2$ , que se simplifica a $-2x + y = 2$ .

Ahora, comparemos las dos ecuaciones del Sistema A: $-2x + y = 2$ $2x - y = -2$ ¡Observa que la segunda ecuación es simplemente la primera ecuación multiplicada por $-1$ !
Esto significa que representan la misma línea.

Dado que ambas ecuaciones representan la misma línea, el Sistema A tiene infinitas soluciones.
Para expresar estas soluciones, podemos usar la ecuación $y = 2x + 2$ , que obtenemos al sumar $2x$ a ambos lados de la primera ecuación reescrita.

Una forma inteligente de abordar el Sistema B es sumar las dos ecuaciones: $3x - y = 6$ $3x + y = 6$ Sumando las ecuaciones, obtenemos $3x + 3x - y + y = 6 + 6$ , que se simplifica a $6x = 12$ .

Para encontrar el valor de $x$ , dividimos ambos lados de $6x = 12$ por $6$ .
Esto nos da $x = \frac{12}{6} = 2$ . ¡Genial, tenemos $x = \mathbf{2}$ !

Ahora, sustituimos $x = 2$ en la primera ecuación del Sistema B: $3(2) - y = 6$ .
Esto se simplifica a $6 - y = 6$ .

Para encontrar $y$ , restamos $6$ de ambos lados de $6 - y = 6$ , lo que nos da $-y = 0$ .
Multiplicando ambos lados por $-1$ , obtenemos $y = \mathbf{0}$ .

El Sistema B tiene una solución única: $(\mathbf{2}, \mathbf{0})$ .

Sistema A: Infinitas soluciones, donde $y = 2x + 2$ . Sistema B: Solución única: $(2, 0)$ .