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Math  /  Algebra

QuestionSoient les vecteurs: U⃗=2i⃗+6k⃗,V⃗=8i⃗+yj⃗+zk⃗,P⃗=3i⃗−4j⃗+2k⃗,Q⃗=−2i⃗+yj⃗+12k⃗\vec{U}=2 \vec{i}+6 \vec{k}, \vec{V}=8 \vec{i}+y \vec{j}+z \vec{k}, \vec{P}=3 \vec{i}-4 \vec{j}+2 \vec{k}, \vec{Q}=-2 \vec{i}+y \vec{j}+12 \vec{k} 1) Déterminer yet zz pour que les vecteurs U⃗\vec{U} et V⃗\vec{V} soient colinéaires: 2) Déterminer la valeur de y potur que les vecteurs p⃗\vec{p} et Q⃗\vec{Q} soient perpendiculaires:

Studdy Solution

STEP 1

1. Les vecteurs sont exprimés dans un système de coordonnées cartésiennes tridimensionnel avec les vecteurs unitaires i⃗\vec{i}, j⃗\vec{j} et k⃗\vec{k}.
2. Les variables yy et zz sont des scalaires inconnus.
3. Pour la colinéarité, nous utiliserons le concept de proportionnalité des composantes.
4. Pour la perpendicularité, nous utiliserons le produit scalaire.

STEP 2

1. Déterminer les conditions de colinéarité pour U⃗\vec{U} et V⃗\vec{V}.
2. Résoudre le système d'équations pour y et z.
3. Calculer le produit scalaire de P⃗\vec{P} et Q⃗\vec{Q}.
4. Résoudre l'équation pour trouver y qui rend P⃗\vec{P} et Q⃗\vec{Q} perpendiculaires.

STEP 3

Pour que deux vecteurs soient colinéaires, leurs composantes doivent être proportionnelles. Comparons les composantes de U⃗\vec{U} et V⃗\vec{V} :
28=0y=6z \frac{2}{8} = \frac{0}{y} = \frac{6}{z}

STEP 4

De l'étape précédente, nous pouvons établir deux équations :
1) 28=6z\frac{2}{8} = \frac{6}{z}, ce qui donne 16=8z16 = 8z ou z=2z = 2 2) 28=0y\frac{2}{8} = \frac{0}{y}, ce qui implique que y=0y = 0 (car 2/8 ≠ 0)
Donc, pour que U⃗\vec{U} et V⃗\vec{V} soient colinéaires, nous devons avoir :
y=0 et z=2 y = 0 \text{ et } z = 2

STEP 5

Pour que deux vecteurs soient perpendiculaires, leur produit scalaire doit être égal à zéro. Calculons le produit scalaire de P⃗\vec{P} et Q⃗\vec{Q} :
P⃗⋅Q⃗=(3)(−2)+(−4)(y)+(2)(12)=0 \vec{P} \cdot \vec{Q} = (3)(-2) + (-4)(y) + (2)(12) = 0

STEP 6

Résolvons l'équation obtenue à l'étape précédente :
−6−4y+24=0 -6 - 4y + 24 = 0 18−4y=0 18 - 4y = 0 −4y=−18 -4y = -18 y=184=92=4,5 y = \frac{18}{4} = \frac{9}{2} = 4,5
Donc, pour que P⃗\vec{P} et Q⃗\vec{Q} soient perpendiculaires, nous devons avoir :
y=92 ou 4,5 y = \frac{9}{2} \text{ ou } 4,5

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