Math / Algebra

QuestionSituation problème 2 (à résoudre avec les élèves) Mensieur KOFF* ’ossède 3 terrains dont il veut abso'...ment clôturer car il lui est rapporté que des individus mal intent':onnés utilisent zes espaces non occupés à de mârvaises fins. Гee dernier décide donc d’acheter du fil barbelé pour clôturer ces 3 terrains. ie rculeau de 5 m de fil est vend:ı à 3500 f. -le $1^{\text {or }}$ terrain est formé de !'ensemble des points $M(z)$ tel que $|2 i z-1-3 i|=8$ -le $2^{\text {èmc }}$ terrain quant à lui a une forme rectangulaire dont les dimensions sont la partie réelle et la partie imaginaire solution de l'équation : $(1+4 i) z+(3-4 i) \bar{z}=4-3 i$ ou $\bar{z}$ est le conjugué de $z$ -le $3^{c}$ terrain est formé de l'ensemble des points $M(z)$ culi plan complexe tel que $\operatorname{Re}\left(z^{\prime}\right)=0$ avec $Z=\frac{z}{z+4 i}$ Les distances sont tous en décamètre. A partir de tes connaissances détermines le montant total à dépenser par monsieur Koffi pour la c'otire de ses terrains

Studdy Solution

STEP 1

1. Monsieur Koffi possède 3 terrains qu'il souhaite clôturer.
2. Le fil barbelé est vendu en rouleaux de 5 mètres à 3500 francs.
3. Les distances sont exprimées en décamètres.
4. Nous devons déterminer le montant total à dépenser pour clôturer les trois terrains.

STEP 2

1. Calculer le périmètre du premier terrain.
2. Résoudre l'équation pour déterminer les dimensions du deuxième terrain et calculer son périmètre.
3. Déterminer les dimensions du troisième terrain et calculer son périmètre.
4. Calculer le coût total pour clôturer les trois terrains.

STEP 3

Calculer le périmètre du premier terrain.
Le premier terrain est défini par l'ensemble des points $M(z)$ tel que $|2iz - 1 - 3i| = 8$ .
Cela représente un cercle dans le plan complexe avec un centre $C$ et un rayon $r$ .
$|2iz - (1 + 3i)| = 8$
$|z - \frac{1 + 3i}{2i}| = \frac{8}{2}$
Le centre est $C = \frac{1 + 3i}{2i}$ et le rayon est $r = 4$ .
Le périmètre du cercle est $2\pi r = 8\pi$ .

STEP 4

Résoudre l'équation pour déterminer les dimensions du deuxième terrain et calculer son périmètre.
L'équation du deuxième terrain est $(1+4i)z + (3-4i)\bar{z} = 4-3i$ .
Posons $z = x + yi$ , alors $\bar{z} = x - yi$ .
Substituons dans l'équation :
$(1+4i)(x+yi) + (3-4i)(x-yi) = 4-3i$
Développons et séparons les parties réelles et imaginaires pour obtenir deux équations :
$(1 \cdot x - 4y + 3x - 4y) + i(4x + y - 4x + 3y) = 4 - 3i$
$4x - 8y = 4$ $8x + 2y = -3$
Résolvons ce système pour $x$ et $y$ .

STEP 5

Résolvons le système d'équations :
$4x - 8y = 4$ $8x + 2y = -3$
Multipliant la première équation par 2 :
$8x - 16y = 8$
Soustrayons la deuxième équation :
$(8x - 16y) - (8x + 2y) = 8 + 3$ $-18y = 11$ $y = -\frac{11}{18}$
Substituons $y$ dans l'une des équations :
$4x - 8(-\frac{11}{18}) = 4$ $4x + \frac{88}{18} = 4$ $4x = 4 - \frac{88}{18}$ $4x = \frac{72}{18} - \frac{88}{18}$ $4x = -\frac{16}{18}$ $x = -\frac{4}{18}$ $x = -\frac{2}{9}$
Les dimensions du rectangle sont $|x|$ et $|y|$ .
Le périmètre est $2(|x| + |y|)$ .

STEP 6

Déterminer les dimensions du troisième terrain et calculer son périmètre.
Le troisième terrain est défini par $\operatorname{Re}\left(z^{\prime}\right) = 0$ avec $z' = \frac{z}{z + 4i}$ .
Cela signifie que $z'$ est purement imaginaire.
En posant $z = x + yi$ , nous devons résoudre pour $\operatorname{Re}\left(\frac{x + yi}{x + yi + 4i}\right) = 0$ .
Cela implique que le numérateur et le dénominateur doivent être conjugués.
Résolvons cette condition pour $x$ et $y$ .

STEP 7

Résolvons pour $z'$ purement imaginaire :
$\frac{x + yi}{x + yi + 4i} = \frac{(x + yi)(x - yi - 4i)}{(x + yi + 4i)(x - yi - 4i)}$
Simplifions pour obtenir une expression purement imaginaire.
Cela implique que $x = 0$ .
Le périmètre du terrain est basé sur les valeurs de $y$ .

STEP 8

Calculer le coût total pour clôturer les trois terrains.
Additionnons les périmètres des trois terrains.
Convertissons les périmètres en mètres (1 décamètre = 10 mètres).
Calculons le nombre de rouleaux nécessaires et multiplions par le coût par rouleau.

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STEP 1

1. Monsieur Koffi possède 3 terrains qu'il souhaite clôturer.
2. Le fil barbelé est vendu en rouleaux de 5 mètres à 3500 francs.
3. Les distances sont exprimées en décamètres.
4. Nous devons déterminer le montant total à dépenser pour clôturer les trois terrains.

STEP 2

1. Calculer le périmètre du premier terrain.
2. Résoudre l'équation pour déterminer les dimensions du deuxième terrain et calculer son périmètre.
3. Déterminer les dimensions du troisième terrain et calculer son périmètre.
4. Calculer le coût total pour clôturer les trois terrains.

STEP 3

STEP 4

STEP 5

STEP 6

STEP 7

Résolvons pour $z'$ purement imaginaire :
$\frac{x + yi}{x + yi + 4i} = \frac{(x + yi)(x - yi - 4i)}{(x + yi + 4i)(x - yi - 4i)}$
Simplifions pour obtenir une expression purement imaginaire.
Cela implique que $x = 0$ .
Le périmètre du terrain est basé sur les valeurs de $y$ .

STEP 8

Calculer le coût total pour clôturer les trois terrains.
Additionnons les périmètres des trois terrains.
Convertissons les périmètres en mètres (1 décamètre = 10 mètres).
Calculons le nombre de rouleaux nécessaires et multiplions par le coût par rouleau.

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STEP 1

1. Monsieur Koffi possède 3 terrains qu'il souhaite clôturer.2. Le fil barbelé est vendu en rouleaux de 5 mètres à 3500 francs.3. Les distances sont exprimées en décamètres.4. Nous devons déterminer le montant total à dépenser pour clôturer les trois terrains.

STEP 2

1. Calculer le périmètre du premier terrain.2. Résoudre l'équation pour déterminer les dimensions du deuxième terrain et calculer son périmètre.3. Déterminer les dimensions du troisième terrain et calculer son périmètre.4. Calculer le coût total pour clôturer les trois terrains.

STEP 3

STEP 4

STEP 5

STEP 6

STEP 7

STEP 8

Calculer le coût total pour clôturer les trois terrains.Additionnons les périmètres des trois terrains.Convertissons les périmètres en mètres (1 décamètre = 10 mètres).Calculons le nombre de rouleaux nécessaires et multiplions par le coût par rouleau.

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1. Monsieur Koffi possède 3 terrains qu'il souhaite clôturer.
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3. Les distances sont exprimées en décamètres.
4. Nous devons déterminer le montant total à dépenser pour clôturer les trois terrains.

1. Calculer le périmètre du premier terrain.
2. Résoudre l'équation pour déterminer les dimensions du deuxième terrain et calculer son périmètre.
3. Déterminer les dimensions du troisième terrain et calculer son périmètre.
4. Calculer le coût total pour clôturer les trois terrains.

Calculer le coût total pour clôturer les trois terrains.
Additionnons les périmètres des trois terrains.
Convertissons les périmètres en mètres (1 décamètre = 10 mètres).
Calculons le nombre de rouleaux nécessaires et multiplions par le coût par rouleau.