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Math  /  Trigonometry

Questionsin⁡αcos⁡α+4tan⁡αcos⁡2α−2sin⁡2α−4sin⁡αcos⁡α−2cos⁡2α=\sin \alpha \cos \alpha+4 \tan \alpha \cos ^{2} \alpha-2 \sin ^{2} \alpha-4 \sin \alpha \cos \alpha-2 \cos ^{2} \alpha= The α−tan⁡αsin⁡2α−2\alpha-\tan \alpha \sin ^{2} \alpha-2

Studdy Solution

STEP 1

Cosa ci chiede questo problema? Dimostrare che l'identità trigonometrica è vera semplificando il lato sinistro dell'equazione fino ad ottenere il lato destro. Attenzione! Ricorda le identità trigonometriche fondamentali, in particolare tan⁡α=sin⁡αcos⁡α\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} e sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1.
Non fare confusione tra i segni!

STEP 2

1. Semplificare i termini con seno e coseno
2. Sostituire la tangente
3. Usare l'identità trigonometrica fondamentale
4. Semplificare l'espressione

STEP 3

Abbiamo sin⁡αcos⁡α\sin \alpha \cos \alpha e −4sin⁡αcos⁡α-4 \sin \alpha \cos \alpha.
Raggruppandoli otteniamo −3sin⁡αcos⁡α-3 \sin \alpha \cos \alpha.
Anche −2sin⁡2α-2 \sin^2 \alpha e −2cos⁡2α-2 \cos^2 \alpha possono essere raggruppati come −2(sin⁡2α+cos⁡2α)-2(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha).
Quindi l'espressione diventa: −3sin⁡αcos⁡α+4tan⁡αcos⁡2α−2(sin⁡2α+cos⁡2α)-3 \sin \alpha \cos \alpha + 4 \tan \alpha \cos^2 \alpha - 2(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)

STEP 4

Ricordiamo che sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1.
Sostituendo questo nella nostra espressione, otteniamo: −3sin⁡αcos⁡α+4tan⁡αcos⁡2α−2⋅1-3 \sin \alpha \cos \alpha + 4 \tan \alpha \cos^2 \alpha - 2 \cdot 1 −3sin⁡αcos⁡α+4tan⁡αcos⁡2α−2-3 \sin \alpha \cos \alpha + 4 \tan \alpha \cos^2 \alpha - 2

STEP 5

Ricordiamo che tan⁡α=sin⁡αcos⁡α\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}.
Sostituiamo questo nella nostra espressione: −3sin⁡αcos⁡α+4⋅sin⁡αcos⁡α⋅cos⁡2α−2-3 \sin \alpha \cos \alpha + 4 \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot \cos^2 \alpha - 2

STEP 6

Moltiplicando sin⁡αcos⁡α\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} per cos⁡2α\cos^2 \alpha otteniamo sin⁡αcos⁡α\sin \alpha \cos \alpha.
Quindi l'espressione diventa: −3sin⁡αcos⁡α+4sin⁡αcos⁡α−2-3 \sin \alpha \cos \alpha + 4 \sin \alpha \cos \alpha - 2

STEP 7

Ora abbiamo −3sin⁡αcos⁡α-3 \sin \alpha \cos \alpha e 4sin⁡αcos⁡α4 \sin \alpha \cos \alpha.
Sommandoli otteniamo sin⁡αcos⁡α\sin \alpha \cos \alpha.
L'espressione diventa: sin⁡αcos⁡α−2\sin \alpha \cos \alpha - 2

STEP 8

Dobbiamo arrivare a tan⁡α−tan⁡αsin⁡2α−2\tan \alpha - \tan \alpha \sin^2 \alpha - 2.
Possiamo riscrivere tan⁡α\tan \alpha come tan⁡α⋅1\tan \alpha \cdot 1.
Dato che 1=sin⁡2α+cos⁡2α1 = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha, possiamo scrivere tan⁡α\tan \alpha come tan⁡α(sin⁡2α+cos⁡2α)=tan⁡αsin⁡2α+tan⁡αcos⁡2α\tan \alpha (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) = \tan \alpha \sin^2 \alpha + \tan \alpha \cos^2 \alpha.
Ricordando che tan⁡α=sin⁡αcos⁡α\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, abbiamo tan⁡αcos⁡2α=sin⁡αcos⁡αcos⁡2α=sin⁡αcos⁡α\tan \alpha \cos^2 \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cos^2 \alpha = \sin \alpha \cos \alpha.
Quindi, sin⁡αcos⁡α−2\sin \alpha \cos \alpha - 2 può essere scritto come tan⁡αcos⁡2α−2\tan \alpha \cos^2 \alpha - 2.
Inoltre, tan⁡α−tan⁡αsin⁡2α=tan⁡α(1−sin⁡2α)=tan⁡αcos⁡2α\tan \alpha - \tan \alpha \sin^2 \alpha = \tan \alpha (1 - \sin^2 \alpha) = \tan \alpha \cos^2 \alpha.
Quindi, abbiamo dimostrato che sin⁡αcos⁡α−2=tan⁡α−tan⁡αsin⁡2α−2\sin \alpha \cos \alpha - 2 = \tan \alpha - \tan \alpha \sin^2 \alpha - 2.

STEP 9

Abbiamo dimostrato che il lato sinistro dell'equazione è uguale al lato destro: sin⁡αcos⁡α−2=tan⁡α−tan⁡αsin⁡2α−2\sin \alpha \cos \alpha - 2 = \tan \alpha - \tan \alpha \sin^2 \alpha - 2.

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